Cambio de Variables
A veces "cambiar una variable" puede ayudarnos a resolver una ecuación.
La idea: si no podemos resolverlo aquí, entonces nos movemos a otro lugar donde podamos resolverlo, y luego volvemos a la posición original.
Así:
Estos son los pasos:
- Reemplaza una expresión (como "2x−3") con una variable (como "u")
- Resuelve,
- Luego pon la expresión (como "2x−3") de nuevo en la solución (donde está "u")
A menudo usamos la nueva variable "u", por lo que a esto se le llama sustitución u.
Aquí hay un ejemplo simple:
Ejemplo: resolver (x+1)2 − 4 = 0
Reemplaza "x+1" con "u" ... Resuelve ... Reemplaza "u" con "x+1":
En otras palabras, reemplazando x+1 con u:
- (x+1)2 − 4 = 0 se convierte en u2 − 4 = 0
- Resuelve: u = ±2
- Luego vuelve a colocar x+1: x+1 = ±2
Lo cual nos da x = 1 o −3
Confirma esto por ti mismo, ¿es correcta esa solución?
Más Ejemplos
Bien, podríamos haber resuelto eso sin hacer eso de "u = x+1", pero aquí hay una pregunta donde "cambiar variables" es muy útil:
Ejemplo: (x2+2)2 − 2(x2+2) − 15 = 0
Podría ser difícil de resolver, pero intentemos un cambio de variables:
Sea u = x2+2, entonces nuestra ecuación se convierte en:
u2 − 2u − 15 = 0
Que es una ecuación cuadrática que se factoriza fácilmente en:
(u−5)(u+3)
Y las soluciones son simplemente:
u = 5 o u = −3
¡Pero espera! Todavía tenemos que convertir "u" de nuevo en "x2+2":
| Primera solución |
|---|
| u = 5 |
| x2+2 = 5 |
| x2 = 5−2 = 3 |
| x = ±√3 |
| Segunda solución |
|---|
| u = −3 |
| x2+2 = −3 |
| x2 = −3−2 |
| x = ±√(−5) |
La segunda solución es imaginaria (tiene la raíz cuadrada de un número negativo), así que usemos simplemente la primera solución:
Respuesta: x = ±√3
Comprobación: ((√3)2+2)2 − 2((√3)2+2) − 15 = = 52 − 2·5 − 15 = 25−10−15 = 0
Comprobación: ((−√3)2+2)2 − 2((−√3)2+2) − 15 = = 52 − 2·5 − 15 = 25−10−15 = 0
Ejemplo: 3x8 + 5x4 − 2 = 0
Parece cuadrática, pero es de grado 8, lo cual podría ser imposible de resolver.
Pero si usamos:
u = x4
Entonces se convierte en:
3u2 + 5u − 2 = 0
La cual es cuadrática. Y al resolverla da:
u = 1/3 o u = −2
Ahora volvemos a poner la original:
| Primera solución |
|---|
| u = 1/3 |
| x4 = 1/3 |
| x = ±(1/3)1/4 |
| Segunda solución |
|---|
| u = −2 |
| x4 = −2 |
| x = ±(−2)1/4 |
Respuestas: x = ±(1/3)1/4 y x = ±(−2)1/4
Comprobación: ¡Tú puedes verificar las respuestas!
Conclusión
El "cambio de variable" puede ayudarnos a resolver preguntas difíciles, usando los pasos:
- Reemplaza una expresión con una variable (como "u")
- Resuelve
- Pon la expresión de vuelta en la solución (donde está "u")