Cambio de Variables
A veces un "cambio de variable" puede ayudarnos a resolver una ecuación.
La idea: si no podemos resolverlo aquí, entonces nos movemos a otro lugar donde podamos resolverlo, y luego volvemos a la posición original.
Así:
Estos son los pasos:
- Reemplaza una expresión (como "2x-3") con una variable (como "u")
- Resuelve,
- Luego pon la expresión (como "2x-3") de nuevo en la solución (donde está "u").
Ejemplo
Aquí está un ejemplo sencillo: Resolver (x+1)2 − 4 = 0.
Reemplza "x+1" con "u" ... Resuelve... Reemplaza "u" con "x+1":
Más Ejemplos
Bien, podríamos haber resuelto eso sin hacer eso de "u = x + 1", pero a continuación hay una pregunta donde un "cambio de variable" es muy útil:
Ejemplo: (x2+2)2 − 2(x2+2) − 15 = 0
Podría ser difícil de resolver, pero intentemos un cambio de variables:
Sea u = x2+2, entonces nuestra ecuación se convierte en:
u2 − 2u − 15 = 0
Que es una ecuación cuadrática que se factoriza fácilmente en:
(u−5)(u+3)
Y las soluciones son simplemente:
u = 5 ó u = −3
¡Pero espera! Todavía tenemos que convertir "u" de nuevo en "x2+2":
| Primera Solución |
|---|
| u = 5 |
| x2+2 = 5 |
| x2 = 5−2 = 3 |
| x = ±√3 |
| Segunda Solución |
|---|
| u = −3 |
| x2+2 = −3 |
| x2 = −3−2 |
| x2 = ±√(−5) |
La segunda solución es imaginaria (tiene la raíz cuadrada de un número negativo), así que usemos la primera solución:
Respuesta: x = ±√3
Comprobación: ((√3)2+2)2 − 2((√3)2+2)
− 15 = = 52 − 2·5 − 15 = 25−10−15 = 0
Comprobación: ((−√3)2+2)2 − 2((−√3)2+2)
− 15 = = 52 − 2·5 − 15 = 25−10−15 = 0
Ejemplo: 3x8 + 5x4 − 2 = 0
Parece cuadrática, pero es de grado 8 y podría ser imposible de
resolver.
Pero si usamos:
u = x4
Entonces tenemos:
3u2 + 5u − 2 = 0
La cual es cuadrática. Y al resolverla resulta en:
u = 1/3 ó u = −2
Ahora vuelve a colocar la original:
| Primera Solución |
|---|
| u = 1/3 |
| x4 = 1/3 |
| x = (1/3)1/4 |
| Segunda Solución |
|---|
| u = −2 |
| x4 = −2 |
| x = (−2)1/4 |
Respuesta: x = (1/3)1/4 y x = (−2)1/4
Comprobación: ¡Tú puedes verificar esta respuesta!
Conclusión
El "cambio de variable" nos puede ayudar a resolver preguntas difíciles, usando los pasos:
- Reemplaza una expresión con una variable (como "u")
- Resuelve,
- Luego pon la expresión de vuelta en la solución (donde está "u").
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
