Problemas Verbales de Desigualdades
En Álgebra tenemos preguntas de "desigualdades" como:
Sam y Alex juegan en el mismo equipo de fútbol.
El sábado pasado Alex anotó 3 goles más que Sam, pero juntos anotaron menos de 9 goles.
¿Cuáles son los posibles números de goles que anotó Alex?
¿Cómo los resolvemos?
El truco es dividir la solución en dos partes:
Convierte el español en álgebra.
Luego usa el álgebra para resolver.
Convertir el español en álgebra
Para convertir el español en álgebra ayuda:
- Leer todo primero
- Hacer un dibujo si es necesario
- Asignar letras a los valores
- Encontrar o deducir fórmulas
¡También deberíamos escribir lo que realmente se está pidiendo, para saber a dónde vamos y cuándo hemos llegado!
La mejor manera de aprender esto es con un ejemplo, así que probemos nuestro primer ejemplo:
Sam y Alex juegan en el mismo equipo de fútbol.
El sábado pasado Alex anotó 3 goles más que Sam, pero juntos anotaron menos de 9 goles.
¿Cuáles son los posibles números de goles que anotó Alex?
Asignar letras:
- el número de goles que anotó Alex: A
- el número de goles que anotó Sam: S
Sabemos que Alex anotó 3 goles más que Sam, por lo tanto: A = S + 3
Y sabemos que juntos anotaron menos de 9 goles: S + A < 9
Se nos pregunta cuántos goles podría haber anotado Alex: A
Resolver:
Sam anotó menos de 3 goles, lo que significa que Sam pudo haber anotado 0, 1 o 2 goles.
Alex anotó 3 goles más que Sam, por lo que Alex pudo haber anotado 3, 4 o 5 goles.
Comprobación:
- Cuando S = 0, entonces A = 3 y S + A = 3, y 3 < 9 es correcto
- Cuando S = 1, entonces A = 4 y S + A = 5, y 5 < 9 es correcto
- Cuando S = 2, entonces A = 5 y S + A = 7, y 7 < 9 es correcto
- (Pero cuando S = 3, entonces A = 6 y S + A = 9, y 9 < 9 es incorrecto)
¡Muchos más ejemplos!
Ejemplo: De 8 cachorros, hay más hembras que machos.
¿Cuántas cachorras podría haber?
Asignar letras:
- la cantidad de hembras: h
- la cantidad de machos: m
Sabemos que hay 8 cachorros, por lo tanto: h + m = 8, lo que se puede reordenar a
También sabemos que hay más hembras que machos, así que:
Se nos pregunta la cantidad de cachorras: h
Resolver:
Así que podría haber 5, 6, 7 u 8 cachorras.
¿Podría haber 8 cachorras? En ese caso no habría ningún macho en absoluto, y la pregunta no es del todo clara en ese punto (a veces los problemas son así).
Comprobación:
- Cuando h = 8, entonces m = 0 y h > m es correcto (pero, ¿se permite m = 0?)
- Cuando h = 7, entonces m = 1 y h > m es correcto
- Cuando h = 6, entonces m = 2 y h > m es correcto
- Cuando h = 5, entonces m = 3 y h > m es correcto
- (Pero si h = 4, entonces m = 4 y h > m es incorrecto)
Un ejemplo veloz:
Ejemplo: Joe participa en una carrera en la que tiene que andar en bicicleta y correr.
Recorre en bicicleta una distancia de 25 km, y luego corre durante 20 km. Su rapidez promedio al correr es la mitad de su rapidez promedio en bicicleta.
Joe completa la carrera en menos de 2½ horas, ¿qué podemos decir sobre sus rapideces promedio?
Asignar letras:
- Rapidez promedio al correr: s
- Por lo tanto, la rapidez promedio en bicicleta: 2s
Fórmulas:
- Rapidez = DistanciaTiempo
- Que se puede reordenar a: Tiempo = DistanciaRapidez
Se nos preguntan sus rapideces promedio: s y 2s
La carrera se divide en dos partes:
1. Ciclismo
- Distancia = 25 km
- Rapidez promedio = 2s km/h
- Por lo tanto, Tiempo = DistanciaRapidez Promedio = 252s horas
2. Carrera a pie
- Distancia = 20 km
- Rapidez promedio = s km/h
- Por lo tanto, Tiempo = DistanciaRapidez Promedio = 20s horas
Joe completa la carrera en menos de 2½ horas
- El tiempo total < 2½
- 252s + 20s < 2½
Resolver:
Por lo tanto, su rapidez promedio al correr es mayor que 13 km/h y su rapidez promedio en bicicleta es mayor que 26 km/h
En este ejemplo podemos usar dos desigualdades a la vez:
Ejemplo: La velocidad v en m/s de una pelota lanzada directamente hacia arriba en el aire viene dada por v = 20 − 10t, donde t es el tiempo en segundos.
¿En qué momentos estará la velocidad entre 10 m/s y 15 m/s?
Letras:
- velocidad en m/s: v
- el tiempo en segundos: t
Fórmula:
- v = 20 − 10t
Se nos pregunta el tiempo t cuando v está entre 10 y 15 m/s:
Resolver:
número menor, así que invierte el orden:
Por lo tanto, la velocidad está entre 10 m/s y 15 m/s entre 0.5 y 1 segundo después.
Y un ejemplo razonablemente difícil para terminar:
Ejemplo: En una habitación rectangular caben al menos 7 mesas que tienen cada una 1 metro cuadrado de superficie. El perímetro de la habitación es de 16 m.
¿Cuáles podrían ser el ancho y el largo de la habitación?
Haz un dibujo: no sabemos el tamaño de las mesas, solo su área, ¡pueden encajar perfectamente o no!
Asignar letras:
- el largo de la habitación: L
- el ancho de la habitación: W
La fórmula del perímetro es 2(W + L), y sabemos que es 16 m
- 2(W + L) = 16
- W + L = 8
- L = 8 − W
También sabemos que el área de un rectángulo es el ancho por el largo: Área = W × L
Y el área debe ser mayor o igual a 7:
- W × L ≥ 7
Se nos piden los posibles valores de W y L
Vamos a resolver:
Se puede resolver de muchas maneras, aquí la resolveremos completando el cuadrado:
Por lo tanto, el ancho debe estar entre 1 m y 7 m (inclusive) y el largo es 8−ancho.
Comprobación:
- Digamos W = 1, entonces L = 8−1 = 7, y Área = 1 x 7 = 7 m2 (caben exactamente 7 mesas)
- Digamos W = 0.9 (menor que 1), entonces L = 7.1, y Área = 0.9 x 7.1 = 6.39 m2 (no caben 7)
- Digamos W = 1.1 (apenas mayor que 1), entonces L = 6.9, y Área = 1.1 x 6.9 = 7.59 m2 (7 caben fácilmente)
- De igual manera para W alrededor de 7 m