Resolviendo desigualdades
A veces necesitamos resolver desigualdades como estas:
|
Símbolo |
En palabras |
Ejemplo |
|---|---|---|
| > |
mayor que |
x + 3 > 2 |
| < |
menor que |
7x < 28 |
| ≥ |
mayor o igual que |
5 ≥ x − 1 |
| ≤ |
menor o igual que |
2y + 1 ≤ 7 |
Resolver
Nuestra meta es tener a x (o cualquiera que sea la variable) por sí sola a la izquierda del signo de desigualdad:
| Algo como: | x < 5 | |
| o: | y ≥ 11 |
A eso lo llamamos "resuelta".
Ejemplo: x + 2 > 12
Resta 2 de ambos lados:
x + 2 − 2 > 12 − 2
Simplifica:
x > 10
¡Resuelto!
Cómo resolver
Resolver desigualdades es muy parecido a resolver ecuaciones, hacemos casi lo mismo...
... pero también debemos prestar atención a la dirección de la desigualdad.
Dirección: hacia qué lado "apunta" la flecha
¡Algunas cosas pueden cambiar la dirección!
< se convierte en >
> se convierte en <
≤ se convierte en ≥
≥ se convierte en ≤
Cosas seguras que se pueden hacer
Estas cosas no afectan la dirección de la desigualdad:
- Sumar (o restar) un número en ambos lados
- Multiplicar (o dividir) ambos lados por un número positivo
- Simplificar un lado
Ejemplo: 3x < 7+3
Podemos simplificar 7+3 sin afectar la desigualdad:
3x < 10
Pero estas cosas sí cambian la dirección de la desigualdad ("<" se convierte en ">", por ejemplo):
- Multiplicar (o dividir) ambos lados por un número negativo
- Intercambiar los lados izquierdo y derecho
Ejemplo: 2y+7 < 12
Cuando intercambiamos los lados izquierdo y derecho, también debemos cambiar la dirección de la desigualdad:
12 > 2y+7
Aquí están los detalles:
Sumar o restar un valor
A menudo podemos resolver desigualdades sumando (o restando) un número en ambos lados (como en Introducción al Álgebra), así:
Ejemplo: x + 3 < 7
Si restamos 3 de ambos lados, obtenemos:
x + 3 − 3 < 7 − 3
x < 4
Y esa es nuestra solución: x < 4
En otras palabras, x puede ser cualquier valor menor que 4.
¿Qué hicimos?
|
Pasamos de esto: A esto: |
 |
x+3 < 7 x < 4 |
||
Y eso funciona bien para sumar y restar, porque si sumamos (o restamos) la misma cantidad de ambos lados, no afecta la desigualdad
Ejemplo: Álex tiene más monedas que Brenda. Si tanto Álex como Brenda reciben tres monedas más cada uno, Álex seguirá teniendo más monedas que Brenda.
¿Qué pasa si lo resuelvo, pero "x" está a la derecha?
No importa, simplemente cambia de lado, ¡pero invierte el signo para que siga "apuntando" al valor correcto!
Ejemplo: 12 < x + 5
Si restamos 5 de ambos lados, obtenemos:
12 − 5 < x + 5 − 5
7 < x
¡Esa es una solución!
Pero es normal poner "x" en el lado izquierdo ...
... así que volteemos los lados (¡y el signo de desigualdad!):
x > 7
¿Ves cómo el signo de desigualdad todavía "apunta" al valor más pequeño (7)?
Y esa es nuestra solución: x > 7
Nota: "x" puede estar a la derecha, pero a la gente normalmente le gusta verla en el lado izquierdo.
Multiplicar o dividir por un valor
Otra cosa que hacemos es multiplicar o dividir ambos lados por un valor (como en Álgebra - Multiplicación).
Pero debemos ser un poco más cuidadosos (como verás).
Valores positivos
Todo va bien si queremos multiplicar o dividir por un número positivo:
Ejemplo: 3y < 15
Si dividimos ambos lados entre 3 obtenemos:
3y/3 < 15/3
y < 5
Y esa es nuestra solución: y < 5
Valores negativos
 |
Cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo debemos invertir la desigualdad. |
¡Pruébalo tú mismo!
¿Por qué?
Bueno, de 3 a 7 es un aumento,
pero de −3 a −7 es una disminución.
 |
|
| −7 < −3 | 7 > 3 |
Por lo tanto, el signo de desigualdad se invierte (de < a >)
Probemos un ejemplo:
Ejemplo: −2y < −8
¡Dividamos ambos lados entre −2 ... e invirtamos la desigualdad!
−2y < −8
−2y/−2 > −8/−2
y > 4
Y esa es la solución correcta: y > 4
(Ten en cuenta que invertimos la desigualdad en la misma línea en la que dividimos por el número negativo).
Así que, solo recuerda:
Al multiplicar o dividir por un número negativo, invierte la desigualdad
Multiplicar o dividir por variables
Aquí hay un ejemplo capcioso:
Ejemplo: bx < 3b
Es tentador dividir ambos lados entre b para obtener:
x < 3
... pero espera... si b es negativo necesitamos invertir la desigualdad así:
x > 3
Como no sabemos si b es positivo o negativo, no podemos dar una sola respuesta.
Para ser completamente correctos necesitamos dos respuestas:
- si b > 0, entonces x < 3
- si b < 0, entonces x > 3
Regla: No podemos multiplicar o dividir por una variable a menos que sepamos que es siempre positiva o siempre negativa. Y b no puede ser 0, ya que no se puede dividir entre cero.
Un ejemplo más grande
Ejemplo: x−32 < −5
Primero, eliminemos el "/2" multiplicando ambos lados por 2.
Dado que estamos multiplicando por un número positivo, la desigualdad no cambia.
x−32 ×2 < −5 ×2
x−3 < −10
Ahora suma 3 a ambos lados:
x−3 + 3 < −10 + 3
x < −7
Y esa es nuestra solución: x < −7
¡Dos desigualdades a la vez!
¿Cómo resolvemos algo con dos desigualdades a la vez?
Ejemplo:
Primero, eliminemos el "/3" multiplicando cada parte por 3.
Como estamos multiplicando por un número positivo, las desigualdades no cambian:
−6 < 6−2x < 12
Ahora resta 6 de cada parte:
−12 < −2x < 6
Ahora divide cada parte entre 2 (un número positivo, así que de nuevo las desigualdades no cambian):
−6 < −x < 3
Ahora multiplica cada parte por −1. Como estamos multiplicando por un número negativo, las desigualdades cambian de dirección.
6 > x > −3
¡Y esa es la solución!
Pero para ser ordenados es mejor tener el número más pequeño a la izquierda y el más grande a la derecha. Así que intercambiémoslos (y asegurémonos de que las desigualdades apunten correctamente):
−3 < x < 6
Resumen
- La regla de oro: Lo que hagas a un lado, debes hacérselo al otro
- Muchas desigualdades simples se pueden resolver sumando, restando, multiplicando o dividiendo ambos lados hasta que quede la variable por sí sola
- Pero estas cosas cambiarán la dirección de la desigualdad:
- Multiplicar o dividir ambos lados por un número negativo
- Intercambiar los lados izquierdo y derecho
- No multipliques ni dividas por una variable (a menos que sepas que siempre es positiva o siempre negativa)