Resolviendo ecuaciones
¿Qué es una ecuación?
Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=" como este:
| x | − | 2 | = | 4 |
Esa ecuación dice:
lo que está a la izquierda (x − 2) es igual a lo que está a la derecha (4)
Así que una ecuación es como una afirmación: "esto es igual a aquello".
¿Qué es una solución?
Una solución es un valor que podemos poner en lugar de una variable (como x) que hace que la ecuación sea verdadera.
Ejemplo: x − 2 = 4
Cuando ponemos 6 en lugar de x obtenemos:
6 − 2 = 4
lo cual es verdadero
Así que x = 6 es una solución.
¿Qué hay de otros valores para x?
- Para x=5 obtenemos "5−2=4", lo cual no es verdadero, de modo que x=5 no es una solución
- Para x=9 obtenemos "9−2=4", lo cual no es verdadero, de modo que x=9 no es una solución
- y así sucesivamente
En este caso, x = 6 es la única solución.
Tal vez te gustaría practicar resolver algunas ecuaciones animadas.
Más de una solución
Puede haber más de una solución.
Ejemplo: (x−3)(x−2) = 0
Cuando x es 3 obtenemos:
(3−3)(3−2) = 0 × 1 = 0
lo cual es verdadero
Y cuando x es 2 obtenemos:
(2−3)(2−2) = (−1) × 0 = 0
lo cual también es verdadero
Por lo tanto, las soluciones son:
x = 3, o x = 2
Cuando reunimos todas las soluciones se llama Conjunto solución
El conjunto solución anterior es: {2, 3}
¡Soluciones en todas partes!
Algunas ecuaciones son verdaderas para todos los valores permitidos y entonces se llaman Identidades
Ejemplo: sen(−θ) = −sen(θ) es una de las Identidades trigonométricas
Probemos con θ = 30°:
sen(−30°) = −0.5 y
−sen(30°) = −0.5
Así que es verdadero para θ = 30°
Probemos con θ = 90°:
sen(−90°) = −1 y
−sen(90°) = −1
Así que también es verdadero para θ = 90°
¿Es verdadero para todos los valores de θ? ¡Prueba algunos valores por ti mismo!
Cómo resolver una ecuación
No hay una "única forma perfecta" para resolver todas las ecuaciones.
Primero sigue la Regla de Oro: para mantener el equilibrio, lo que hacemos en un lado del "=" también debemos hacerlo en el otro lado.
Un objetivo útil
A menudo tenemos éxito cuando nuestro objetivo es terminar con:
x = algo
En otras palabras, queremos mover todo excepto "x" (o cualquier nombre que tenga la variable) al lado derecho.
Ejemplo: Resuelve 3x−6 = 9
Ahora tenemos x = algo,
y un cálculo rápido revela que x = 5
Variables en ambos lados
A veces tenemos variables en ambos lados del signo igual. Podemos moverlas tal como movemos los números.
Ejemplo: Resuelve 5x = 2x + 9
Queremos todas las x en un solo lado.
Usando paréntesis
Si una ecuación tiene paréntesis, podemos usar la Ley distributiva para expandirla primero.
Ejemplo: Resuelve 3(x + 2) = 15
Como un rompecabezas
De hecho, resolver una ecuación es como resolver un rompecabezas. Y al igual que con los rompecabezas, hay cosas que podemos (y no podemos) hacer.
Aquí hay algunas cosas que podemos hacer:
- Sumar o restar el mismo valor de ambos lados
- Eliminar las fracciones multiplicando cada término por los denominadores
- Dividir cada término por el mismo valor distinto de cero
- Combinar términos semejantes
- Factorizar
- Desarrollar (lo contrario de factorizar) también puede ayudar
- Reconocer un patrón, como la diferencia de cuadrados
- A veces podemos aplicar una función a ambos lados (por ejemplo, elevar al cuadrado ambos lados)
Ejemplo: Resuelve √(x/2) = 3
Y cuantos más "trucos" y técnicas aprendas, mejor lo harás.
Ecuaciones especiales
Hay formas especiales de resolver algunos tipos de ecuaciones. Aprende a...
- resolver Ecuaciones cuadráticas
- resolver Ecuaciones con radicales
- resolver Ecuaciones con seno, coseno y tangente
Comprueba tus soluciones
Siempre debes verificar que tu "solución" realmente sea una solución.
Cómo comprobar
Toma la(s) solución(es) y colócala(s) en la ecuación original para ver si realmente funcionan.
Ejemplo: resuelve para x:
2xx − 3 + 3 = 6x − 3 (x≠3)
Hemos dicho x≠3 para evitar una división por cero.
Multipliquemos por (x − 3):
2x + 3(x−3) = 6
Llevemos el 6 a la izquierda:
2x + 3(x−3) − 6 = 0
Expandamos y resolvamos:
2x + 3x − 9 − 6 = 0
5x − 15 = 0
5(x − 3) = 0
x − 3 = 0
Lo cual se puede resolver teniendo x=3
Comprobemos x=3 usando la ecuación original:
2 × 33 − 3 + 3 = 63 − 3
¡Espera! 3 − 3 = 0
¡Eso significa dividir por cero!
Y de todos modos, dijimos al principio que x≠3, así que...
x = 3 en realidad no funciona, y por lo tanto:
¡No hay solución!
Eso fue interesante... pensamos que habíamos encontrado una solución, pero cuando volvimos a mirar la pregunta descubrimos que no estaba permitida.
Esto nos da una lección moral:
¡"Resolver" solo nos da posibles soluciones, deben comprobarse!
Consejos
- Anota dónde no está definida una expresión (debido a una división por cero, la raíz cuadrada de un número negativo o alguna otra razón)
- Muestra todos los pasos, para que pueda verificarse más tarde (por ti o por otra persona)