Resolviendo Ecuaciones
¿Qué es una ecuación?
Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por ejemplo:
x | − | 2 | = | 4 |
Lo que la ecuación dice: lo que está a la izquierda (x − 2) es igual que lo que está en la derecha (4)
Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"
¿Qué es una solución?
Una solución es un valor que podemos colocar en lugar de una variable (como x) que hace que la ecuación sea verdadera.
Ejemplo: x − 2 = 4
Cuando colocamos el 6 en lugar de la x obtenemos:
6 − 2 = 4
lo cual es verdadero
Así, x = 6 es una solución.
¿Qué hay de otros valores de x ?
- Para x=5 obtenemos "5−2=4" lo cual no es verdad, de modo que x=5 no es solución.
- Para x=9 obtenemos "9−2=4" lo cual no es verdad, de modo que x=9 no es solución.
- etc
En este caso x = 6 es la única solución.
Tal vez te gustaría practicar resolver ecuaciones de forma animada.
Más de una solución
Puede haber más de una solución.
Ejemplo: (x−3)(x−2) = 0
Cuando x es 3 se tiene:
(3−3)(3−2) = 0 × 1 = 0
lo cual es verdad
Y cuando x es 2 tenemos:
(2−3)(2−2) = (−1) × 0 = 0
lo cual también es verdad
Por lo que las soluciones son
x = 3, o x = 2
Cuando reunimos todas las soluciones, se denomina Conjunto de Soluciones.
El conjunto de soluciones anterior es: {2, 3}
¡Soluciones en todas partes!
Algunas ecuaciones son verdaderas para todos los valores permitidos y se llaman Identidades
Ejemplo: sen(−θ) = −sen(θ) es una de las Identidades Trigonométricas
Probemos con θ = 30°:
sen(−30°) = −0.5 y
−sen(30°) = −0.5
Así que es verdad para θ = 30°
Probemos ahora con θ = 90°:
sen(−90°) = −1 y
−sen(90°) = −1
Así que también es verdad para θ = 90°
¿Es verdad para todos los valores de θ? ¡Prueba algunos valores por ti mismo!
Cómo resolver una ecuación
No hay una "forma perfecta" para resolver todas las ecuaciones.
Un objetivo útil
Pero a menudo tenemos éxito cuando nuestro objetivo es terminar con:
x = algo
En otras palabras, queremos mover todo, excepto "x" (o cualquier nombre que tenga la variable) al lado derecho.
Ejemplo: Resuelve 3x−6 = 9
Ahora tenemos x = algo,
y un cálculo rápido revela que x = 5
Como un "puzzle" (acertijo)
De hecho, resolver una ecuación es como resolver un acertijo. Y al igual
que los acertijos, hay cosas que podemos (y no podemos) hacer.Aquí hay algunas cosas que podemos hacer:
- Sumar o restar el mismo valor de ambos lados.
- Quitar cualquier fracción Multiplicando cada término por la parte de abajo
- Divida cada término por el mismo valor distinto de cero
- Combinar términos similares
- Factorizar
- Desarrollar (lo contrario de la factorización) también puede ayudar
- Reconocer un patrón, como la diferencia de cuadrados
- A veces podemos aplicar una función a ambos lados (e.g., elevar al cuadrado de ambos lados)
Ejemplo: Resuelve √(x/2) = 3
Y cuantos más "trucos" y técnicas aprendas, te volverás más ágil.
Ecuaciones Especiales
Hay formas especiales de resolver algunos tipos de ecuaciones. Aprende cómo ...
- resolver Ecuaciones cuadráticas
- resolver Ecuaciones con radicales
- resolver Ecuaciones con Seno, Coseno y Tangente
Comprueba tus soluciones
Siempre debes verificar que tu "solución" realmente es una solución.
Cómo comprobarlo
Toma las soluciones y colócalas en la ecuación original para ver si realmente funcionan.
Ejemplo: encuentra x:
2xx − 3 + 3 = 6x − 3 (x≠3)
Hemos dicho que x≠3 para evitar dividir entre cero.
Multipliquemos todo por (x − 3):
2x + 3(x−3) = 6
Traigamos el 6 al lado izquierdo:
2x + 3(x−3) − 6 = 0
Desarrollemos y encontremos la solución:
2x + 3x − 9 − 6 = 0
5x − 15 = 0
5(x − 3) = 0
x − 3 = 0
Esto se resuelve si x=3
Verifiquemos:
2 × 3 3 − 3 + 3 = 6 3 − 3
¡Un momento!
¡Eso significa dividir por cero!
Y de todos modos, dijimos en la parte superior que x≠3, así que ...
x = 3 en realidad no funciona, entonces:
¡No hay solución!
Esto nos da una lección moral:
"Resolver" solo nos da posibles soluciones, ¡deben verificarse!
Tips
- Anota dónde no está definida una expresión (debido a una división por cero, la raíz cuadrada de un número negativo u otra razón)
- Escribe todos los pasos, para que pueda verificarse más tarde (por ti mismo u otra persona)
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).