Sistemas de Ecuaciones Lineales y Cuadráticos


lineal Una Ecuación Lineal es la ecuación de una línea.
cuadrática Una Ecuación Cuadrática es la ecuación de una parábola
y tiene al menos una variable al cuadrado (como x2)
lineal y cuadrática Y juntas forman un Sistema
de una ecuación lineal y cuadrática

 

Un Sistema de esas dos ecuaciones se puede resolver (encuentra dónde se cruzan), ya sea:

Cómo resolver usando álgebra


Un ejemplo ayudará:

Ejemplo: resuelve estas dos ecuaciones:

 

Escribe ambas ecuaciones en formato "y =":

Ambas están en formato "y =", así que ve directamente al siguiente paso

 

Ponlas igualadas entre sí

x2 - 5x + 7 = 2x + 1

 

Simplifica en formato "= 0" (como una ecuación cuadrática estándar)

Resta 2x de ambos lados: x2 - 7x + 7 = 1
Resta 1 de ambos lados: x2 - 7x + 6 = 0

 

¡Resuelve la ecuación cuadrática!

(La parte más difícil para mí)

Puedes leer cómo resolver Ecuaciones Cuadráticas, pero aquí vamos a factorizar la Ecuación Cuadrática:

Empieza con: x2 - 7x + 6 = 0
Reescribe -7x como -x-6x: x2 - x - 6x + 6 = 0
Luego: x(x-1) - 6(x-1) = 0
Después: (x-1)(x-6) = 0

lineal y cuadrática

Lo que nos da las soluciones x=1 y x=6

 

 

Usa la ecuación lineal para calcular los valores correspondientes de "y", para obtener puntos (x, y) como respuestas

Los valores correspondientes de y son (ver también la gráfica):

 

Nuestra solución: los dos puntos son (1,3) y (6,13)

Lo considero como tres etapas:

Combinar en una ecuación cuadrática ⇒ Resolver la cuadrática ⇒ Calcular los puntos

Soluciones

Hay tres casos posibles:

intersecciones lineal y cuadrática

¡Hora de otro ejemplo!

Ejemplo: resuelve estas dos ecuaciones:

 

Escribe ambas ecuaciones en formato "y =":

La primera ecuación es: y - x2 = 7 - 5x

Suma x2 de ambos lados: y = x2 + 7 - 5x

La segunda ecuación es: 4y - 8x = -21

Suma 8x en ambos lados: 4y = 8x - 21
Divide todo entre 4: y = 2x - 5.25

 

Establécelas iguales entre sí

x2 - 5x + 7 = 2x - 5.25

 

Simplifica en formato "= 0" (como una ecuación cuadrática estándar)

Resta 2x de ambos lados: x2 - 7x + 7 = -5.25
Suma 5.25 a ambos lados: x2 - 7x + 12.25 = 0

 

¡Resuelve la ecuación cuadrática!

Usando la fórmula cuadrática de Ecuaciones Cuadráticas:

 

1 intersección entre lineal y cuadrática

¡Solo una solución! (El "discriminante" es 0)

 

Usa la ecuación lineal para calcular los valores correspondientes de "y", para obtener puntos (x, y) como respuestas

El valor para y es

 

Nuestra solución: (3.5,1.75)

 

Ejemplo del mundo real

¡BUM!

La bala de cañón vuela por el aire, siguiendo una parábola: y = 2 + 0.12x - 0.002x2

La tierra tiene una pendiente hacia arriba: y = 0.15x

¿Dónde aterriza la bala de cañón?

cañón cuadrático y ecuación lineal

 

Ambas ecuaciones ya están en el formato "y =", por lo tanto, ponlas iguales entre sí:

0.15x = 2 + 0.12x - 0.002x2

Simplifica en el formato "= 0":

Mueve todos los términos a la izquierda: 0.002x2 + 0.15x - 0.12x - 2 = 0
Simplifica: 0.002x2 + 0.03x - 2 = 0
Multiplica por 500: x2 + 15x - 1000 = 0

Resuelve la ecuación cuadrática:

Separa 15x en -25x+40x: x2 -25x + 40x - 1000 = 0
Luego: x(x-25) + 40(x-25) = 0
Después: (x+40)(x-25) = 0
x = -40 ó 25

La respuesta negativa puede ser ignorada, así que x = 25

Usa la ecuación lineal para calcular el valor "y" correspondiente:

y = 0.15 x 25 = 3.75

 

Entonces la bala de cañón impacta la pendiente en (25, 3.75)

 

También puedes encontrar la respuesta gráficamente usando el Graficador de Funciones:

gráfica lineal y cuadrática.

Ambas variables al cuadrado

A veces, AMBOS términos de la cuadrática pueden ser elevados al cuadrado:

Ejemplo. Encuentra los puntos de intersección de:

El círculo x2 + y2 = 25

Y la recta 3y - 2x = 6

recta 3y-2x=6 vs círculo x^2+y^2=25

Primero pon la recta en formato "y =":

Pasa 2x hacia el lado derecho: 3y = 2x + 6
Divide entre 3: y = 2x/3 + 2

AHORA, en lugar de poner el círculo en formato "y =", podemos usar una sustitución (reemplaza "y" en la cuadrática con la expresión lineal):

Pon y = 2x/3 + 2 en la ecuación del círculo: x2 + (2x/3 + 2)2 = 25
Desarrolla: x2 + 4x2/9 + 2(2x/3)(2) + 22 = 25
Multiplica todo por 9: 9x2 + 4x2 + 2(2x)(2)(3) + (9)(22) = (9)(25)
Simplifica: 13x2+ 24x + 36 = 225
Resta 225 de ambos lados: 13x2+ 24x - 189 = 0

Ahora que está en forma cuadrática estándar, solucionémoslo:

13x2+ 24x - 189 = 0
Separa 24x en 63x-39x: 13x2+ 63x - 39x - 189 = 0
Luego: x(13x + 63) - 3(13x + 63) = 0
Después: (x - 3)(13x + 63) = 0
Finalmente: x = 3 ó -63/13

 

Ahora calcula los valores de y:

Sustituye x = 3 en la ecuación lineal:
  • 3y - 6 = 6
  • 3y = 12
  • y = 4
  • Entonces un punto es (3, 4)
Sustituye x = -63/13 en la ecuación lineal:
  • 3y + 126/13 = 6
  • y + 42/13 = 2
  • y = 2 - 42/13 = 26/13 - 42/13 = -16/13
  • Así que el otro punto es (-63/13, -16/13)

recta 3y-2x=6 vs círculo x^2+y^2=25

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).