Sistemas de Ecuaciones Lineales y Cuadráticos
Una Ecuación Lineal es la ecuación de una línea. | |
Una Ecuación Cuadrática
es la ecuación de una parábola
y tiene al menos una variable al cuadrado (como x2) |
|
Y juntas forman un Sistema de una ecuación lineal y cuadrática |
Un Sistema de esas dos ecuaciones se puede resolver (encuentra dónde se cruzan), ya sea:
- Gráficamente (trazando ambas gráficas en el Graficador de Funciones y haciendo zoom)
- o usando Álgebra
Cómo resolver usando álgebra
- Escribe ambas ecuaciones en formato "y ="
- Ponlas iguales entre sí
- Simplifica en el formato "= 0" (como una ecuación cuadrática estándar)
- ¡Resuelve la ecuación cuadrática!
- Usa la ecuación lineal para calcular los valores correspondiente de "y", para obtener puntos (x, y) como respuestas
Un ejemplo ayudará:
Ejemplo: resuelve estas dos ecuaciones:
- y = x2 - 5x + 7
- y = 2x + 1
Escribe ambas ecuaciones en formato "y =":
Ambas están en formato "y =", así que ve directamente al siguiente paso
Ponlas igualadas entre sí
Simplifica en formato "= 0" (como una ecuación cuadrática estándar)
¡Resuelve la ecuación cuadrática!
(La parte más difícil para mí)
Puedes leer cómo resolver Ecuaciones Cuadráticas, pero aquí vamos a factorizar la Ecuación Cuadrática:
Lo que nos da las soluciones x=1 y x=6
Usa la ecuación lineal para calcular los valores correspondientes de "y", para obtener puntos (x, y) como respuestas
Los valores correspondientes de y son (ver también la gráfica):
- para x=1: y = 2x+1 = 3
- para x=6: y = 2x+1 = 13
Nuestra solución: los dos puntos son (1,3) y (6,13)
Lo considero como tres etapas:
Combinar en una ecuación cuadrática ⇒ Resolver la cuadrática ⇒ Calcular los puntos
Soluciones
Hay tres casos posibles:
- Ninguna solución real (sucede cuando nunca se cruzan)
- Una solución real (cuando la línea recta solo toca la cuadrática)
- Dos soluciones reales (como el ejemplo anterior)
¡Hora de otro ejemplo!
Ejemplo: resuelve estas dos ecuaciones:
- y - x2 = 7 - 5x
- 4y - 8x = -21
Escribe ambas ecuaciones en formato "y =":
La primera ecuación es: y - x2 = 7 - 5x
La segunda ecuación es: 4y - 8x = -21
Establécelas iguales entre sí
Simplifica en formato "= 0" (como una ecuación cuadrática estándar)
¡Resuelve la ecuación cuadrática!
Usando la fórmula cuadrática de Ecuaciones Cuadráticas:
- x = [ -b ± √(b2-4ac) ] / 2a
- x = [ 7 ± √((-7)2-4×1×12.25) ] / 2×1
- x = [ 7 ± √(49-49) ] / 2
- x = [ 7 ± √0 ] / 2
- x = 3.5
¡Solo una solución! (El "discriminante" es 0)
Usa la ecuación lineal para calcular los valores correspondientes de "y", para obtener puntos (x, y) como respuestas
El valor para y es
- para x=3.5: y = 2x-5.25 = 1.75
Nuestra solución: (3.5,1.75)
Ejemplo del mundo real
¡BUM!
La bala de cañón vuela por el aire, siguiendo una parábola: y = 2 + 0.12x - 0.002x2
La tierra tiene una pendiente hacia arriba: y = 0.15x
¿Dónde aterriza la bala de cañón?
Ambas ecuaciones ya están en el formato "y =", por lo tanto, ponlas iguales entre sí:
Simplifica en el formato "= 0":
Resuelve la ecuación cuadrática:
La respuesta negativa puede ser ignorada, así que x = 25
Usa la ecuación lineal para calcular el valor "y" correspondiente:
Entonces la bala de cañón impacta la pendiente en (25, 3.75)
También puedes encontrar la respuesta gráficamente usando el Graficador de Funciones:
.
Ambas variables al cuadrado
A veces, AMBOS términos de la cuadrática pueden ser elevados al cuadrado:
Ejemplo. Encuentra los puntos de intersección de:
El círculo x2 + y2 = 25
Y la recta 3y - 2x = 6
Primero pon la recta en formato "y =":
AHORA, en lugar de poner el círculo en formato "y =", podemos usar una sustitución (reemplaza "y" en la cuadrática con la expresión lineal):
Ahora que está en forma cuadrática estándar, solucionémoslo:
Ahora calcula los valores de y:
- 3y - 6 = 6
- 3y = 12
- y = 4
- Entonces un punto es (3, 4)
- 3y + 126/13 = 6
- y + 42/13 = 2
- y = 2 - 42/13 = 26/13 - 42/13 = -16/13
- Así que el otro punto es (-63/13, -16/13)
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).