Resolviendo Sistemas de Ecuaciones Lineales Usando Matrices
¡Hola! Esta página solo tendrá sentido cuando sepas un poco sobre Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices, ¡así que por favor ve y aprende sobre esos temas si aún no los conoces!
El ejemplo
Uno de los últimos ejemplos en Sistemas de Ecuaciones Lineales era éste:
Ejemplo: resuelve
- x + y + z = 6
- 2y + 5z = −4
- 2x + 5y − z = 27
Lo resolvimos usando "eliminación" ... ¡pero podemos resolverlo usando
Matrices!
Usar Matrices hace la vida más fácil porque podemos usar un programa de
computadora (como la Calculadora de
Matrices) para hacer todo el "cálculo de números".
Pero primero tenemos que escribir la pregunta en forma de matriz.
¿En forma de matriz?
OK. Una matriz es un arreglo de números, ¿verdad?
Una matriz
Bueno, piensa en las ecuaciones:
| x | + | y | + | z | = | 6 |
| 2y | + | 5z | = | −4 | ||
| 2x | + | 5y | − | z | = | 27 |
Podrían convertirse en una tabla de números como ésta:
| 1 | 1 | 1 | = | 6 | ||
| 0 | 2 | 5 | = | −4 | ||
| 2 | 5 | −1 | = | 27 |
Incluso podríamos separar los números antes y después del "=" en:
| 1 | 1 | 1 | 6 | |
| 0 | 2 | 5 | y | −4 |
| 2 | 5 | −1 | 27 |
De hecho, tenemos una tercera, que es [x y z]:
![matriz con [x,y,z] en un sistema de ecuaciones lineales](images/systems-linear-equations-matrices1.svg)
¿Por qué va [x y z] allí? Porque cuando Multiplicamos Matrices el lado izquierdo se convierte en:
Que es el lado izquierdo original de nuestras ecuaciones anteriores (es posible que desees comprobar eso).
La matriz con la solución
Podemos escribir esto:
de esta forma:
AX = B
donde
- A es la matriz 3x3 de los coeficientes
de x, y y z
- X es x, y y z, y
- B es 6, −4 y 27
Entonces (como se muestra en la página de la Inversa de una Matriz) la solución es ésta:
X = A-1B
¿Qué significa eso?
Significa que podemos encontrar los valores de x, y y z
(la matriz X) multiplicando la inversa de la matriz A por la matriz
B.
Así que sigamos adelante y hagamos eso.
Primero, necesitamos encontrar la inversa de la matriz A
(¡suponiendo que exista!)
Utilizando la Calculadora de
Matrices obtenemos esto:
(Dejé el 1/determinante fuera de la matriz para
simplificar los números)
Luego multiplicamos A-1 por B (podemos usar la Calculadora de Matrices nuevamente):
![solución de una matrix [x,y,z] en un sistema de ecuaciones lineales](images/systems-linear-equations-matrices3.svg)
¡Y hemos terminado! La solución es:
x = 5,
y = 3,
z = −2
Tal como en la página de Sistema de Ecuaciones Lineales.
Muy ordenado y elegante...la persona piensa mientras que la computadora calcula.
Solo por diversión ... ¡Hazlo de nuevo!
Por diversión (y para ayudarte a aprender), hagamos todo esto nuevamente, pero primero pon la matriz "X".Quiero mostrarte esta manera de hacerlo, porque muchas personas piensan que la solución anterior es tan clara que debe ser la única manera.
Entonces lo resolveremos así:
XA = B
Y debido a la forma en que se multiplican las matrices, necesitamos configurar las matrices de manera diferente ahora. Las filas y columnas deben cambiarse ("transponerse"):
Y XA = B se ve así:
La matriz con la solución
Entonces (como se muestra también en la página de la Inversa de una Matriz) la solución es ésta:
X = BA-1
Esto es lo que obtenemos para A-1:
Luego multiplicamos B por A-1:
Y la solución es la misma:
x = 5, y = 3 y z = −2
No se veía tan ordenado como el método anterior, pero nos muestra que hay más de una forma de configurar y resolver ecuaciones matriciales. ¡Solo ten cuidado con las filas y columnas!
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
