Inversa de una Matriz
Por favor lee primero nuestra Introducción a las Matrices.
¿Cuál es la inversa de una matriz?
Este es el recíproco de un número:
Recíproco de un número (nota: 18
también se puede escribir como 8-1)
... una matriz tiene una inversa:
Inversa de una matriz
Escribimos A-1 en lugar de 1A ¡porque no dividimos entre una matriz!
Y existen otras similitudes:
Cuando multiplicamos un número por su recíproco obtenemos 1:
Cuando multiplicamos una matriz por su inversa obtenemos la Matriz Identidad (que es como el "1" de las matrices):
Lo mismo ocurre cuando la inversa va primero:
Matriz Identidad
Acabamos de mencionar la "Matriz Identidad". Es el equivalente matricial del número "1":
Una Matriz Identidad 3x3
- Es "cuadrada" (tiene el mismo número de filas que de columnas),
- Tiene 1s en la diagonal y 0s en el resto de posiciones,
- Su símbolo es la letra mayúscula I.
La Matriz Identidad puede ser de cualquier tamaño cuadrado: 2×2, 3×3, 4×4, y así sucesivamente.
Multiplicar una matriz por I (asumiendo que los tamaños coincidan) no cambia la matriz, igual que multiplicar un número por 1 no cambia el número.
Definición
Aquí está la definición:
La inversa de A es A-1 solo cuando:
AA-1 = A-1A = I
A veces, no existe ninguna inversa.
(Nota: escribir AA-1 significa A por A-1)
Matriz 2x2
Bien, ¿cómo calculamos la inversa?
Para una matriz 2x2, la inversa es:
En otras palabras: intercambia las posiciones de a y d, pon negativos delante de b y c, y divide todo por ad−bc.
Nota: ad−bc se llama el determinante.
Probemos con un ejemplo:
Nota: Aquí el determinante es 4×6−7×2 = 24−14 = 10
¿Cómo sabemos que esta es la respuesta correcta?
Recuerda que debe cumplirse: AA-1 = I
Así que, comprobemos qué pasa cuando multiplicamos la matriz por su inversa:
¡Y vaya!, ¡terminamos con la Matriz Identidad!
Así que debe estar bien.
También debería ser cierto que: A-1A = I
¿Por qué no intentas multiplicar estas? Mira si también obtienes la Matriz Identidad:
¿Por qué necesitamos una inversa?
¡Porque con las matrices no se divide! En serio, no existe el concepto de dividir entre una matriz.
Pero podemos multiplicar por una inversa, lo cual logra el mismo resultado.
Imagina que no podemos dividir entre números...
... y alguien pregunta: "¿Cómo comparto 10 manzanas con 2 personas?"
Pero podemos tomar el recíproco de 2 (que es 0.5), así que respondemos:
10 × 0.5 = 5
Reciben 5 manzanas cada uno.
Lo mismo se puede hacer con las matrices:
Supongamos que queremos encontrar la matriz X, y conocemos las matrices A y B:
XA = B
Sería estupendo dividir ambos lados por A (para obtener X=B/A), pero recuerda que no podemos dividir.
¿Pero qué pasa si multiplicamos ambos lados por A-1?
XAA-1 = BA-1
Y sabemos que AA-1 = I, así que:
XI = BA-1
Podemos quitar la I (por la misma razón que podemos quitar el "1" en 1x = ab para números):
X = BA-1
Y ya tenemos nuestra respuesta (asumiendo que podemos calcular A-1).
En ese ejemplo fuimos muy cuidadosos con el orden de las multiplicaciones, porque con las matrices el orden importa. AB casi nunca es igual a BA.
Un ejemplo de la vida real: Autobús y Tren
Un grupo hizo un viaje en autobús, a $3 por niño y $3.20 por adulto, con un total de $118.40.
Regresaron en tren a $3.50 por niño y $3.60 por adulto, con un total de $135.20.
¿Cuántos niños y cuántos adultos eran?
Primero, configuremos las matrices (¡ten cuidado de colocar bien las filas y columnas!):
Esto es justo como el ejemplo anterior:
XA = B
Así que para resolverlo necesitamos la inversa de "A":
Ahora que tenemos la inversa, podemos resolver usando:
X = BA-1
¡Eran 16 niños y 22 adultos!
La respuesta parece casi mágica. Pero se basa en buenas matemáticas.
Cálculos como ese (pero usando matrices mucho más grandes) ayudan a los ingenieros a diseñar edificios, se usan en videojuegos y animaciones por computadora para que las cosas parezcan tridimensionales, y en muchos otros lugares.
También es una forma de resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales.
Los cálculos los hace la computadora, pero las personas deben entender las fórmulas.
El orden es importante
Supongamos que intentamos encontrar "X" en este caso:
AX = B
¡Esto es diferente al ejemplo anterior! Ahora X está después de A.
Con las matrices, el orden de la multiplicación suele cambiar el resultado. No asumas que AB = BA; casi nunca es cierto.
Entonces, ¿cómo resolvemos este? Usando el mismo método, pero colocando A-1 al principio:
A-1AX = A-1B
Y sabemos que A-1A = I, así que:
IX = A-1B
Podemos quitar la I:
X = A-1B
Y ya tenemos nuestra respuesta (asumiendo que podemos calcular A-1).
¿Por qué no probamos nuestro ejemplo del autobús y el tren, pero con los datos configurados de esa otra manera?
Se puede hacer así, pero debemos ser cuidadosos con la configuración.
Así es como se ve como AX = B:
¡Se ve muy ordenado! Creo que lo prefiero así.
Nota también cómo las filas y columnas se
intercambian
("Traspuestas") en comparación con el ejemplo anterior.
Para resolverlo necesitamos la inversa de "A":
Es como la inversa que obtuvimos antes, pero
Traspuesta (filas y columnas intercambiadas).
Ahora podemos resolver usando:
X = A-1B
Misma respuesta: 16 niños y 22 adultos.
¡Así que las matrices son herramientas poderosas, pero requieren una configuración correcta!
La inversa puede no existir
En primer lugar, para tener una inversa, la matriz debe ser "cuadrada" (mismo número de filas y columnas).
Pero además, el determinante no puede ser cero (o acabaríamos dividiendo por cero). ¿Qué tal esta?:
¿24−24? Eso es igual a 0, y 1/0 no está
definido.
¡No podemos seguir! Esta matriz no tiene inversa.
Una matriz así se llama "Singular",
lo cual solo ocurre cuando el determinante es cero.
Y tiene sentido... mira los números: la segunda fila es simplemente el doble de la primera, y no aporta ninguna información nueva.
El determinante 24−24 nos avisa de este hecho.
(Imagina en nuestro ejemplo del autobús y el tren que los precios del tren fueran todos exactamente un 50% más altos que los del autobús: ahora no podríamos averiguar ninguna diferencia entre adultos y niños. Se necesita algo que los distinga).
Matrices más grandes
La inversa de una 2x2 es fácil... comparada con matrices más grandes (como 3x3, 4x4, etc.).
Para esas matrices más grandes existen tres métodos principales para calcular la inversa:
- Usando Operaciones Elementales en las Filas (Gauss-Jordan)
- Usando Menores, Cofactores, Adjuntas
- Usando una computadora (como la Calculadora de Matrices)
Conclusión
- La inversa de A es A-1 solo cuando AA-1 = A-1A = I
- Para hallar la inversa de una matriz 2x2: intercambia las posiciones de a y d, pon negativos delante de b y c, y divide todo por el determinante (ad-bc).
- A veces no existe ninguna inversa.
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
