Solución de Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden

¡Tal vez quieras leer primero sobre Ecuaciones Diferenciales y Separación de Variables!

Una Ecuación Diferencial es una ecuación con una función y una o más de sus derivadas:

ecuación diferencial y + dy/dx = 5x
Ejemplo: una ecuación con la función y y su derivada dy dx

Aquí veremos cómo resolver una clase especial de ecuaciones diferenciales llamadas Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden.

Primer Orden

Son de "Primer Orden" cuando solo hay dy dx, no d²y dx² ni d³y dx³ , etc.

Lineal

Una ecuación diferencial de primer orden es lineal cuando se puede hacer que tenga este aspecto:

dy dx + P(x)y = Q(x)

Donde P(x) y Q(x) son funciones de x.

Para hallar la solución hay un método especial:

Inventamos dos nuevas funciones de x, las llamamos u y v, y decimos que y=uv.
Luego tratamos de encontrar u, y después v, y ordenar y acomodar todo cuando tengamos todo listo.

Y también usamos la derivada de y=uv (lee Reglas de Derivación (Regla del Producto)):

dy dx = u dv dx + v du dx

Pasos

Aquí hay un método paso a paso para resolverlas:

1. Sustituye y = uv, y
dy dx = u dv dx + v du dx
en
dy dx + P(x)y = Q(x)
2. Factoriza las partes que incluyen v
3. Pon v igualada a cero (esto nos da una ecuación diferencial en términos de u y x que se puede resolver en el siguiente paso)
4. Resuelve usando separación de variables para encontrar u
5. Sustituye u de vuelta en la ecuación del paso 2
6. Resuelve para encontrar v
7. Finalmente, ¡sustituye u y v en y = uv para obtener la solución!

Probemos un ejemplo para ver los pasos en acción:

Ejemplo 1: Resuelve:
dy dx − y x = 1

Primero, ¿es lineal? Sí, ya que está en la forma

dy dx + P(x)y = Q(x)
donde P(x) = − 1 x y Q(x) = 1

Sigamos los pasos:

Paso 1: Sustituye y = uv, y dy dx = u dv dx + v du dx

De modo que esto: dy dx − y x = 1

Se convierte en:u dv dx + v du dx − uv x = 1

Paso 2: Factoriza las partes que incluyen v

Factoriza v:u dv dx + v( du dx − u x ) = 1

Paso 3: Pon v igualada a cero

v igualada a cero: du dx − u x = 0

Por lo tanto: du dx = u x

Paso 4: Resuelve usando separación de variables para encontrar u

Separa las variables: du u = dx x

Usa la notación de integración: ∫ du u = ∫ dx x

Integra:ln(u) = ln(x) + C

Haz C = ln(k):ln(u) = ln(x) + ln(k)

Y queda:u = kx

Paso 5: Sustituye u de vuelta en la ecuación del Paso 2

(Recuerda que el término v es igual a 0, así que lo podemos ignorar):kx dv dx = 1

Paso 6: Resuelve esto para encontrar v

Separa las variables:k dv = dx x

Usa la notación de integrales: ∫ k dv = ∫ dx x

Integra:kv = ln(x) + C

Haz C = ln(c):kv = ln(x) + ln(c)

Por tanto:kv = ln(cx)

Y se tiene:v = 1 k ln(cx)

Paso 7: Sustituye en y = uv para encontrar la solución a la ecuación original.

y = uv:y = kx 1 k ln(cx)

Simplifica:y = x ln(cx)

Y produce esta bonita familia de curvas:

ecuación diferencial con valores de c = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1.0
y = x ln(cx) para diferentes valores de c

¿Cuál es el significado de esas curvas? Son la solución a la ecuación dy dx − y x = 1

En otras palabras:

En cada punto de cualquiera de esas curvas
la pendiente menos y x es igual a 1

Revisemos algunos puntos en la curva c=0.6:

gráfica de una ecuación diferencial con puntos

Estimación de la gráfica (a 1 lugar decimal):

Punto	x	y	Pendiente ( dy dx )	dy dx − y x
A	0.6	−0.6	0	0 − −0.6 0.6 = 0 + 1 = 1
B	1.6	0	1	1 − 0 1.6 = 1 − 0 = 1
C	2.5	1	1.4	1.4 − 1 2.5 = 1.4 − 0.4 = 1

¿Por qué no pruebas algunos puntos tú mismo? Puedes trazar la gráfica aquí.

¿Quizás otro ejemplo para ayudarte? ¿Quizás un poco más difícil?

Ejemplo 2: Resuelve esto:
dy dx − 3y x = x

Primero, ¿es lineal? Sí, ya que está en la forma

dy dx + P(x)y = Q(x)
donde P(x) = − 3 x y Q(x) = x

Sigamos los pasos:

Paso 1: Sustituye y = uv, y dy dx = u dv dx + v du dx

De modo que esto: dy dx − 3y x = x

Se convierte en: u dv dx + v du dx − 3uv x = x

Paso 2: Factoriza las partes que incluyen v

Factoriza v:u dv dx + v( du dx − 3u x ) = x

Paso 3: Pon v igualada a cero

término v = cero: du dx − 3u x = 0

Por lo tanto: du dx = 3u x

Paso 4: Resuelve usando separación de variables para encontrar u

Separa las variables: du u = 3 dx x

Usa la notación de integrales: ∫ du u = 3 ∫ dx x

Integra:ln(u) = 3 ln(x) + C

Haz C = −ln(k):ln(u) + ln(k) = 3ln(x)

Luego:uk = x³

Y nos queda:u = x³ k

Paso 5: Sustituye u de vuelta en la ecuación del Paso 2

(Recuerda que el término v es igual a 0, así que lo podemos ignorar):( x³ k ) dv dx = x

Paso 6: Resuelve esto para encontrar v

Separa las variables:dv = k x⁻² dx

Usa la notación de integrales: ∫ dv = ∫ k x⁻² dx

Integra:v = −k x⁻¹ + D

Paso 7: Sustituye en y = uv para encontrar la solución a la ecuación original.

y = uv:y = x³ k ( −k x⁻¹ + D )

Simplifica:y = −x² + D k x³

Reemplaza D/k con una sola constante c: y = c x³− x²

Y produce esta bonita familia de curvas:

ecuación diferencial con c = 0.2, 0.4, 0.6 y 0.8
y = c x³− x² para diferentes valores de c

Y un ejemplo más, esta vez aún más difícil:

Ejemplo 3: Resuelve esto:

dy dx + 2xy= −2x³

Primero, ¿es lineal? Sí, ya que está en la forma

dy dx + P(x)y = Q(x)
donde P(x) = 2x y Q(x) = −2x³

Sigamos los pasos:

Paso 1: Sustituye y = uv, y dy dx = u dv dx + v du dx

De modo que esto: dy dx + 2xy= −2x³

Se convierte en: u dv dx + v du dx + 2xuv = −2x³

Paso 2: Factoriza las partes que incluyen v

Factoriza v:u dv dx + v( du dx + 2xu ) = −2x³

Paso 3: Pon v igualada a cero

término v = cero: du dx + 2xu = 0

Paso 4: Resuelve usando separación de variables para encontrar u

Separa las variables: du u = −2x dx

Pon los símbolos de las integrales: ∫ du u = −2 ∫ x dx

Integra:ln(u) = −x² + C

Haz C = −ln(k):ln(u) + ln(k) = −x²

Entonces:uk = e^−x²

Luego:u = e^−x² k

Paso 5: Sustituye u de vuelta en la ecuación del Paso 2

(Recuerda que el término v es igual a 0, así que lo podemos ignorar):( e^−x² k ) dv dx = −2x³

Paso 6: Resuelve esto para encontrar v

Separa las variables:dv = −2k x³ e^x² dx

Usa la notación de integrales: ∫ dv = ∫ −2k x³ e^x² dx

Integra:v = ¡Oh no! ¡Esto es difícil!

Veamos... podemos integrar por partes... lo que quedaría así:

∫ RS dx = R ∫ S dx − ∫ R' ( ∫ S dx) dx

(Nota al margen: usamos R y S aquí, usar u y v podría ser confuso, ya que ya significan algo más).

Elegir R y S es muy importante, esta es la mejor opción que encontramos:

R = −x² y
S = 2x e^x²

Sigamos:

Saquemos la k:v = k ∫ −2x³ e^x² dx

R = −x² y S = 2x e^x²:v = k ∫ (−x²)(2xe^x²) dx

Ahora integremos por partes:v = kR ∫ S dx − k ∫ R' ( ∫ S dx) dx

Pon R = −x² y S = 2x e^x²

Y también R' = −2x y ∫ S dx = e^x²

Todo se convierte en:v = −kx² ∫ 2x e^x² dx − k ∫ −2x (e^x²) dx

Ahora integra:v = −kx² e^x² + k e^x² + D

Simplifica:v = ke^x² (1−x²) + D

Paso 7: Sustituye en y = uv para encontrar la solución a la ecuación original.

y = uv:y = e^−x² k ( ke^x² (1−x²) + D )

Simplifica:y =1 − x² + ( D k )e⁻^x²

Reemplaza D/k con una sola constante c: y = 1 − x² + c e⁻^x²

Y tenemos esta linda familia de curvas:

ecuación diferencial con diferentes valores de c
y = 1 − x² + c e⁻^x² para diferentes valores de c

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).

Solución de Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden

Primer Orden

Lineal

Pasos

Ejemplo 1: Resuelve: dy dx − y x = 1

Ejemplo 2: Resuelve esto: dy dx − 3y x = x

Ejemplo 3: Resuelve esto:

Ejemplo 1: Resuelve:
dy dx − y x = 1

Ejemplo 2: Resuelve esto:
dy dx − 3y x = x