Integración por Partes
La Integración por Partes es un método especial de integración que
suele ser útil cuando se multiplican dos funciones, pero también es útil
de otras formas.
Pronto verás muchos ejemplos, pero primero veamos la regla:
∫u·dv dx = u·v −∫v·du dx
- u es la función u(x)
- v es la función v(x)
- du es la derivada de la función u(x)
- dv es la derivada de la función v(x)
Como diagrama:
Vayamos directamente a un ejemplo y hablemos del diagrama después:
Ejemplo: Hallar la integral ∫x cos(x) dx
OK, tenemos x multiplicando a cos(x), así que
usar integración por partes es una buena elección.
Primero elige quién es u y quién es dv:
- u = x
- dv = cos(x)
Así que ahora que tenemos ∫u dv dx podemos continuar:
Deriva u: du = x' = 1
Integra dv: v = ∫dv dx = ∫cos(x) dx = sin(x) (lee Reglas de Integración)
Ahora lo podemos poner junto:
Simplifica y resuelve:
Lo que hicimos fue seguir estos pasos:
- Elegir u y dv
- Derivar u: du
- Integrar dv: ∫dv dx
- Poner u, v y du en: uv −∫vdu dx
- Simplificar y resolver
En español, hay una manera mnemotécnica para recordar la integración por partes. Sabiendo que u y v son funciones de x, no escribiremos el dx, así:
∫u·dv = u·v −∫v·du
Un Día Vi Una Vaca sin cola Vestida De Uniforme
o también
un día vi una vaca sin cola vestida de unicornio
En realidad, hay muchas otras frases que ayudan a recordar la
integración por partes. La clave en este caso sería recordar, además
de la frase, dónde va el signo igual y que "sin cola" significa "menos
la integral de".
Por cierto, esta frase mnemotécnica es la razón por la cual algunos se refieren cariñosamente a la Integración por Partes como el Teorema de la Vaquita.
Probemos algunos ejemplos más:
Ejemplo: Hallar la integral ∫ln(x)/x2 dx
Primero elige u y dv:
- u = ln(x)
- dv = 1/x2
Deriva u: ln(x)' = 1/x
Integra dv: ∫1/x2 dx = ∫x-2 dx = −x-1 = -1/x (por la regla de las potencias)
Ahora pon todo junto:
Simplifica:
Ejemplo: Hallar la integral ∫ln(x) dx
¡Pero solo hay una función! ¿Cómo elegimos u y dv?
¡Oye! Podemos elegir dv como "1":
- u = ln(x)
- dv = 1
Deriva u: ln(x)' = 1/x
Integra dv: ∫1 dx = x
Ahora pon todo junto:
Simplifica:
Ejemplo: Hallar la integral ∫ex x dx
Elige u y dv:
- u = ex
- dv = x
Deriva u: (ex)' = ex
Integra dv: ∫x dx = x2/2
Ahora pon todo junto:
Bueno, ¡fue un desastre espectacular! Simplemente se volvió más
complicado.
¿Quizás podríamos elegir de forma diferente a u y dv?
Ejemplo: ∫ex x dx (continuación)
Elige u y dv de manera diferente:
- u = x
- dv = ex
Deriva u: (x)' = 1
Integra dv: ∫ex dx = ex
Ahora pon todo junto:
Simplifica:
La moraleja de la historia: ¡Elige u y dv con cuidado!
Elige una u que se vuelva más simple cuando la derives y una dv que no se vuelva más complicada cuando la integres.
Una regla que puedes memorizar es ILATE. Elige u en función de cual de estas viene primero:
- I: Inversas trigonométricas, tales como sin-1(x), cos-1(x), tan-1(x)
- L: Logarítmicas, tales como ln(x), log(x)
- A: Algebraicas, tales como x2, x3
- T: Trigonométricas, tales como sin(x), cos(x), tan (x)
- E: Exponenciales, tales como ex, 3x
Y aquí hay un último (y complicado) ejemplo:
Ejemplo: ∫ex sin(x) dx
Elige u y dv:
- u = sin(x)
- dv = ex
Deriva u: sin(x)' = cos(x)
Integra v: ∫ex dx = ex
Ahora pon todo junto:
¡Parece peor, pero persistamos! Podemos volver a utilizar integración por partes:
Elige u y dv:
- u = cos(x)
- dv = ex
Deriva u: cos(x)' = -sin(x)
Integra dv: ∫ex dx = ex
Ahora pon todo junto:
Simplifica:
Ahora tenemos la misma integral en ambos lados (excepto que una se
está restando) ...
... así que pasa la del lado derecho al izquierdo y obtenemos:
Simplifica:
Nota al pie: ¿De dónde salió "Integración por Partes"?
Se basa en la Regla del Producto para Derivadas:
Integra ambos lados y reacomoda:
Hay otras formas de escribir esto, por ejemplo, si a dv le llamamos v, la integración por partes sería:
Pero no conozco una frase que sea fácil para memorizar en este caso.
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
