Función Exponencial

Esta es la función exponencial general (ver más abajo para ex):

f(x) = ax

a es cualquier valor mayor que 0

Las propiedades dependen del valor de "a"

 

a entre 0 y 1

Función Exponencial
Ejemplo: f(x) = (0.5)x

Para a entre 0 y 1

  • Cuando x incrementa, f(x) tiende a 0
  • Cuando x decrece, f(x) tiende a infinito
  • Es una función monótona decreciente (y por lo tanto "inyectiva")
  • Tiene una asíntota horizontal a lo largo del eje x (y=0).

a mayor a 1

Función Exponencial
Ejemplo: f(x) = (2)x

Para a mayor a 1:

  • Cuando x incrementa, f(x) tiende a infinito
  • Cuando x decrece, f(x) tiende a 0
  • Es una función monótona creciente (y por lo tanto "inyectiva")
  • Tiene una asíntota horizontal a lo largo del eje x (y=0).

Traza su gráfica aquí (modifica el valor de "a" deslizándolo)

En general:

Su dominio son los Números Reales: Reales

Su rango son los números reales positivos: (0, +∞)

Inversa

ax   es la  función inversa de  loga(x) (la función logarítmica)

Entonces, la función exponencial puede ser "revertida" por la función logarítmica.

La función exponencial natural

Esta es la función exponencial "natural":

f(x) = ex

Donde e es el "Número de Euler" = 2.718281828459... etc

función exponencial natural
Gráfica de f(x) = ex

El valor e es importante porque tiene estas útiles propiedades:

En cualquier punto, la pendiente de ex es igual al valor de ex :

función exponencial natural
cuando x=0, el valor de ex = 1, y la pendiente = 1
cuando x=1, el valor de ex = e, y la pendiente = e
etc...

El área hasta cualquier valor de x también es igual a ex :

función exponencial natural