Reglas de Integración
IntegraciónLa integración se puede utilizar para encontrar áreas, volúmenes, puntos centrales y muchas cosas útiles. Pero es más fácil comenzar por encontrar el área debajo de la curva de una función como esta: |
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La integral de muchas funciones es bien conocida y existen reglas útiles para calcular la integral de funciones más complicadas, muchas de las cuales se muestran aquí.
Hay ejemplos más abajo para ayudarte.
Funciones comunes | Función | Integral |
---|---|---|
Constante | ∫a dx | ax + C |
Variable | ∫x dx | x2/2 + C |
Cuadrada | ∫x2 dx | x3/3 + C |
Recíproca | ∫(1/x) dx | ln|x| + C |
Exponencial | ∫ex dx | ex + C |
∫ax dx | ax/ln(a) + C | |
∫ln(x) dx | x ln(x) − x + C | |
Trigonometría (x en radianes) | ∫cos(x) dx | sin(x) + C |
∫sin(x) dx | -cos(x) + C | |
∫sec2(x) dx | tan(x) + C | |
Reglas | Función | Integral |
Multiplicación por una constante | ∫cf(x) dx | c∫f(x) dx |
Potencias (n≠-1) | ∫xn dx | xn+1n+1 + C |
Suma | ∫(f + g) dx | ∫f dx + ∫g dx |
Resta | ∫(f - g) dx | ∫f dx - ∫g dx |
Integración por Partes | Ver Integración por Partes | |
Integración por Sustitución | Ver Integración por Sustitución |
Ejemplos
Ejemplo: ¿Cuál es la integral de sin(x) ?
De la tabla anterior, se sabe que es −cos(x) + C
Se escribe así:
∫sin(x) dx = −cos(x) + C
Ejemplo: ¿Cuál es la integral de 1/x ?
De la tabla anterior, se sabe que es ln|x| + C
Se escribe así:
∫(1/x) dx = ln|x| + C
Las barras verticales || a ambos lados de x indican valor absoluto, porque no queremos dar valores negativos a la función logaritmo natural ln.
Regla de las Potencias
Ejemplo: ¿∫x3 dx ?
Nos están preguntando "¿Cuál es la integral de x3 ?"
Podemos usar la regla de las potencias, donde n=3:
∫xn dx = xn+1n+1 + C
∫x3 dx = x44 + C
Ejemplo: Encuentra ∫√x dx
√x es lo mismo que x0.5
Podemos usar la regla de las potencias, donde n=½:
∫xn dx = xn+1n+1 + C
∫x0.5 dx = x1.51.5 + C
= x1.53/2 + C
= 2x3/23 + C
Multiplicación por una constante
Ejemplo: ¿Cuál es ∫6x2 dx ?
Podemos mover el 6 fuera de la integral:
∫6x2 dx = 6∫x2 dx
Y ahora usa la regla de las potencias en x2:
= 6 x33 + C
Simplifica:
= 2x3 + C
Regla de la Suma
Ejemplo: ¿Cuál es ∫cos x + x dx ?
Usa la Regla de la Suma
∫cos x + x dx = ∫cos x dx + ∫x dx
Calcula cada una de las integrales (usando la tabla anterior):
= sin x + x2/2 + C
Regla de la Resta
Ejemplo: ¿Cuál es ∫ew − 3 dw ?
Usa la Regla de la Resta
∫ew − 3 dw =∫ew dw − ∫3 dw
Calcula cada una de las integrales (usando la tabla anterior):
= ew − 3w + C
Reglas de suma, diferencia, multiplicación constante y potencia
Ejemplo: ¿Cuál es ∫8z + 4z3 − 6z2 dz ?
Usa las reglas de la suma y la resta
∫8z + 4z3 − 6z2 dz =∫8z dz + ∫4z3 dz − ∫6z2 dz
Multiplicación por una constante:
= 8∫z dz + 4∫z3 dz − 6∫z2 dz
Potencias:
= 8z2/2 + 4z4/4 − 6z3/3 + C
Simplifica:
= 4z2 + z4 − 2z3 + C
Integración por Partes
Integración por Sustitución
Lee Integración por Sustitución
Consejos finales
- Practica mucho
- No te olvides de dx (o dz, etc.)
- No olvides + C
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).