Números algebraicos
La mayoría de los números que usamos cada día son números
algebraicos
Pero algunos no lo son, como π y e
Número Algebraico
En pocas palabras, cuando tenemos una ecuación polinómica como (por ejemplo)
2x2 + 4x − 7 = 0
cuyos coeficientes (los números 2, 4 y −7) son números racionales (números enteros o fracciones simples) ...
... entonces x es algebraico.
Podemos imaginar todo tipo de polinomios:
- x − 1 = 0 tiene x = 1,
- x + 1 = 0 tiene x = −1,
- 2x − 1 = 0 tiene x = ½,
- x2 − 2 = 0 tiene x = √2,
- y así sucesivamente
En cada caso x es algebraico.
De hecho, todos los enteros, todos los números racionales, y algunos irracionales (como √2) son algebraicos.
Juego de Prueba
¡Podemos convertirlo en un juego!
Comenzamos con nuestro número, y tenemos que llevarlo a cero usando solo:
- números enteros
- sumar, restar, multiplicar (pero no dividir)
- exponentes enteros
Aquí tienes algunos ejemplos:
¡Todos esos números son algebraicos!
Intenta algunos tú mismo y ve cómo te va.
Ahora intenta con π (pi) y mira si tienes éxito.
Más Formalmente
Para ser algebraico, un número debe ser raíz de un polinomio no nulo con coeficientes racionales.
Así que x es algebraico en este ejemplo:
2x3 − 5x + 39 = 0
Porque se cumplen todas las condiciones:
- 2x3 − 5x + 39 es un polinomio no nulo (un polinomio que no es simplemente “0”)
- x es una raíz (es decir, x hace que el resultado sea cero para la función 2x3 − 5x + 39)
- los coeficientes (los números 2, −5 y 39) son números racionales
Así que sabemos que x es algebraico
Pero veamos su valor de todos modos:
Ejemplo: 2x3 − 5x + 39 = 0
Necesitamos encontrar el valor de x donde 2x3 − 5x + 39 es igual a 0
Bueno, x = −3 funciona, porque 2(−3)3 − 5(−3) + 39 = −54+15+39 = 0
Intentemos otro polinomio (recuerda: los coeficientes deben ser racionales).
Ejemplo: 2x3 − ¼ = 0
Los coeficientes son 2 y −¼, ambos números racionales. Así que x es un número algebraico
También podemos descubrir que x = 0.5, porque 2(0.5)3 − ¼ = 0
De hecho:
Todos los enteros y racionales son algebraicos,
pero un número irracional
puede o no ser algebraico
¿No es Algebraico? ¡Entonces es Trascendental!
Cuando un número no es algebraico, se llama trascendental.
En 1844 Joseph Liouville creó un número:
0.110001000000000000000001000000...
(tiene un 1 en cada posición numerada por un factorial, como 1, 2, 6, 24, y así sucesivamente)
Y demostró que no es algebraico ... ¡había roto las matemáticas!
Es broma. Pero sí trascendió a los números algebraicos y fue
el primer número trascendental conocido
Luego, en 1873 Charles Hermite probó que e (el número de Euler) es trascendental, y en 1882 Ferdinand von Lindemann probó que π (pi) es trascendental.
De hecho, es difícil demostrar que un número es trascendental.
Más
Investiguemos algunos números más
Ejemplo: la unidad de los números imaginarios i
Bueno, sabemos que i2 = −1, por lo que i es la solución a:
x2 + 1 = 0
Cuando x = i se tiene −1 + 1 = 0
Entonces el número imaginario i es un número algebraico
Nota: usando el "juego de la prueba": i2
+ 1 = 0
Ejemplo: x2 + 2x + 10 = 0
Las soluciones de esta ecuación cuadrática son números complejos:
- x = −1 + 3i
- x = −1 − 3i
(Intenta ponerlos en la ecuación y recuerda que i2 = −1)
Así que ambos son números algebraicos
¿Cuál es Más Común?
Puede parecer que los números trascendentales son raros, pero:
casi todos los números reales y complejos son trascendentales.
¿Por qué? Bueno, imagina un número real aleatorio donde cada dígito es elegido al azar, y obtienes algo como 7.17493614485672... (siguiendo infinitamente). Es casi seguro que será trascendental.
Pero en la vida diaria usamos números cuidadosamente elegidos como 6, 3.5 o 0.001, así que la mayoría de los números con los que tratamos (excepto π y e) son algebraicos, pero cualquier número real o complejo elegido realmente al azar es casi seguro que será trascendental.
Propiedades
Todos los números algebraicos son computables, lo que significa que existe un método claro paso a paso (un algoritmo) que nos permite calcularlos con tantas cifras decimales como queramos.
Por esta razón también son definibles, ya que podemos describir cada uno exactamente, dando el polinomio que satisface.
El conjunto de números algebraicos es contable. En pocas palabras, la lista de números enteros es "contable", y puedes organizar los números algebraicos de manera uno a uno con los enteros, por lo que también son contables.
