Números Trascendentes
Número transcendente
Un número transcendente es un número que no es un número algebraico (es decir, no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales).
Algunos ejemplos de números transcendentes son π (Pi) y e (el número de Euler).
La Real Academia Española indica que es correcto decir transcendente o trascendente y significan lo mismo.
Número algebraico
¿Qué es un número algebraico?
Por decirlo más fácilmente, si tienes un polinomio como (por ejemplo):
2x2 − 4x + 2 = 0
Entonces x es algebraico. (Lee números algebraicos para todos los detalles).
Podemos imaginar todo tipo de polinomios y sus raíces:
- x − 1 = 0 tiene como raíz x = 1,
- x + 1 = 0 tiene como raíz x = −1,
- 2x − 1 = 0 tiene como raíz x = ½,
- x2 − 2 = 0 tiene como raíz x = √2,
- ... etc, etc, etc
De hecho, todos los enteros,
todos los números racionales,
y algunos números irracionales
(como √2) son algebraicos.
Pruébalo tú mismo (usando solo números enteros en el polinomio) y mira
lo que encuentras.
De hecho, es difícil pensar en un número que no sea
algebraico.
¡Pero existen! ¡Y muchos de ellos!
Esos números trascienden el poder de los métodos algebraicos.
- Leonhard Euler
Números de Liouville
Ya en 1844, Joseph Liouville estudió este número:
 |
= 0.11000100000000000000000100…… |
| (El dígito es 1 si está k! lugares después del decimal y 0 en caso contrario). |
Es un número muy interesante porque:
- es irracional, y
- además no es solución de ninguna ecuación polinomial así que no es algebraico.
De hecho, Joseph Liouville acababa de encontrar el primer número transcendente que se podía demostrar que lo era.
Ese número se conoce ahora como la constante de Liouville. Y es un número de Liouville.
Más números transcendentes
Hubo que esperar hasta 1873 para el primero número "no construido" que fuera transcendente, cuando Charles Hermite demostró que e es transcendente.
Después en 1882, Ferdinand von Lindemann publicó una prueba de que π es transcendente.
De hecho, demostrar que un número es transcendente es bastante difícil, aunque se sepa que son muy comunes...
Los números transcendentes son comunes
Casi todos los números reales son transcendentes. El argumento para verlo es:
- Los números algebraicos son "numerables" (por decirlo simplemente, la lista de números enteros es "numerable", y puedes ordenar los números algebraicos para que vayan de par en par con los números enteros, así que también son numerables.)
- Pero los números reales no son "numerables".
- Y como cada número real es algebraico o transcendente, los transcendentes deben ser "no numerables".
- Así que hay muchos más transcendentes que algebraicos.
Lo mismo es cierto para los números complejos.
Funciones transcendentes
Así como un número transcendente "no es algebraico", una función transcendente también es "no algebraica".Más formalmnte, una función transcendente es una función que no se puede construir en un número finito de pasos a partir de las funciones elementales y sus inversas
Un ejemplo de una función trascendente es la función seno sin(x).
Nota al pie: Más sobre los números de LiouvilleUn número de Liouville es un tipo especial de número transcendente que se puede aproximar muy de cerca con números racionales. Más formalmente es un número real x, con la propiedad de que, para cada entero positivo n, existen dos enteros p y q (con q>1) que cumplen:
Ahora sabemos que x es irracional, así que siempre habrá alguna diferencia entre x y todos los p/q: por eso la parte de "0<". Pero la segunda desigualdad te dice lo pequeña que es la diferencia. De hecho la desigualdad dice que "el número puede ser aproximado infinitamente, pero nunca se puede llegar". De hecho Liouville consiguió demostrar que si un número tiene aproximaciones racionales que se le acercan rápidamente, el número es transcendente. Otra propiedad interesante es que para cada entero positivo n, existe un número infinito de pares de enteros (p,q) que cumplen la desigualdad. |
