Series de Fourier
Las ondas de seno y coseno pueden formar otras funciones.
Aquí dos ondas sinusoidales diferentes se suman para formar una nueva
onda:
Prueba "sin(x)+sin(2x)" en el graficador
de funciones.
(También lo puedes escuchar en Sonidos y Ritmos).
Onda cuadrada
¿Podemos usar ondas sinusoidales para hacer una onda cuadrada?
Nuestro objetivo es esta onda cuadrada:
Empieza con sin(x):
Luego sin(3x)/3:
Súmalas para formar sin(x)+sin(3x)/3:
¿Puedes ver cómo comienza a parecerse un poco a una onda cuadrada?
Ahora toma sin(5x)/5:
Suma nuevamente, para tener sin(x)+sin(3x)/3+sin(5x)/5:
¡Va mejorando! Sumemos muchas más ondas sinusoidales.
Usando 20 ondas sinusoidales obtenemos sin(x)+sin(3x)/3+sin(5x)/5 +
... + sin(39x)/39:
Usando 100 ondas sinusoidales obtenemos sin(x)+sin(3x)/3+sin(5x)/5 + ... + sin(199x)/199:
¡Y si pudiéramos sumar infinitas ondas sinusoidales en ese patrón, tendríamos
una onda cuadrada!
Entonces podemos decir que:
una onda cuadrada = sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + ... (infinitamente)
Esa es la idea de una serie de Fourier.
Añadiendo infinitas ondas de seno (y/o coseno) podemos hacer otras
funciones, incluso si son un poco raras.
Es posible que desees jugar un poco con el:
Graficador de Series de Fourier
Y también sería divertido que hagas Espirales
Artísticas y veas cómo los círculos hacen ondas.
Están diseñados para experimentar con ellos, así que juega y aprende
sobre el tema.
Hallar los coeficientes
¿Cómo supe que había que usar sin(3x)/3, sin(5x)/5, etc.?
¡Hay fórmulas!
Primero, anotemos una serie completa de senos y cosenos, con un nombre
para todos los coeficientes:
Donde:
- f(x) es la función que queremos (como una onda cuadrada)
- L es la mitad del periodo de la función
- a0, an y bn ¡son coeficientes que necesitamos calcular!
Es una suma representada con Notación Sigma que nos indica que hay que sumar toda una serie de valores iniciando en n=1:
- a1 cos(1x π/L)
- a2 cos(2x π/L)
- etc.
No conocemos (todavía) los valores de a1, a2 etc.
Para hallar los coeficientes a0, an y bn usamos estas fórmulas:
Es una integral, pero en la práctica solo significa encontrar el área neta de
f(x) sin(nxπL)
entre −L y L
A menudo podemos encontrar esa área simplemente dibujando y usando cálculos básicos, pero otras veces es posible que necesitemos usar las Reglas de Integración.
Entonces esto es lo que hacemos:
- Tomamos nuestra función objetivo, la multiplicamos por seno (o coseno) e integramos (encontrar el área)
- Hacemos eso para n=0, n=1, etc. para calcular cada coeficiente
- Y después de calcular todos los coeficientes, los colocamos en la fórmula de la serie anterior.
¡Veamos cómo hacer cada paso y luego organicemos el resultado al final!
Ejemplo: esta onda cuadrada:
- L = π (el Periodo es 2π)
- La onda cuadrada va de −h a +h
Ahora hay que calcular a0, an y bn
a0 es el área neta entre −L y L, luego dividida por
2L. Básicamente es un promedio de f(x) en ese rango.
Mirando este boceto:
El área neta de la onda cuadrada de −L a L es cero.
Así que tenemos que:
a0 = 0
Para a1 sabemos que n=1 y L=π, entonces:
Lo cual se simplifica a:
Ahora, debido a que la onda cuadrada cambia abruptamente en x = 0, necesitamos dividir las operaciones de −π a 0 y de 0 a π,
De −π a 0 sabemos que f(x) es simplemente igual a −h:
Podemos mover la constante −h afuera de la integral:
Dibujemos cos(x):
El área neta de cos(x) de -π a 0 es cero.
Entonces el área neta debe ser 0:
La misma idea aplica de 0 a π,
El área neta de cos(x) de 0 a π es cero.
y podemos concluir que
a1 = 0
Ahora veamos a2
Y..... ¡ocurre lo mismo!
El área neta de cos(2x) from -π a 0 es
cero.
Y:
El área neta de cos(2x) de 0 a π
también es cero.
Entonces sabemos que:
a2 = 0
De hecho, podemos extender esta idea a cada valor de a y concluir que:
an= 0
¡Hasta ahora no ha habido necesidad de grandes cálculos! Unos
bocetos y un poco de reflexión han sido suficientes.
¡Pero ahora vamos con la función seno!
Para b1 sabemos que n=1 y L=π, entonces:
Lo cual se simplifica a:
y como antes, debido al cambio abrupto en x=0, necesitamos dividir el cálculo de −π a 0 y de 0 a π,
Entonces, considerando la integral de −π a 0, sabemos que f(x) = −h:
Podemos mover la constante −h afuera de la integral:
Y sin(x) se ve así:
¿Cómo sabemos que el área es −2?
Primero usamos las Reglas de
Integración para saber que la integral de sin(x) es −cos(x):
Luego calculamos la integral definida entre −π y 0 al calcular el valor de −cos(x) para 0, y para −π, y luego restamos:
[−cos(0)] − [−cos(−π)] = −1 − 1 = −2
Entonces, entre −π y 0 tenemos
−hπ(−2)
Ahora consideremos la integral de 0 a π:
[−cos(π)] − [−cos(0)] = 1 − [−1] = 2
Ahora, combinando ambos lados tenemos:
b1 = 1π[ (−h) × (−2) + (h) × (2) ] = 4hπ
Para b2 tenemos esta integral:
De −π a 0 se ve así:
El área neta de sin(2x) de −π a 0 es
cero.
Y hemos visto este tipo de cosas antes, por lo que concluimos que:
b2 = 0
Para b3 tenemos esta integral:
De −π a 0 tenemos esta situación particular:
Dos áreas se cancelan, ¡pero la tercera es importante!
Entonces es como la integral de b1, pero con solo un
tercio del área.
Para 0 a π se tiene:
Nuevamente dos áreas se cancelan, pero no la tercera.
Y podemos concluir:
b3 = b13 = 4h3π
El patrón continúa:
Cuando n es par, las áreas se cancelan y dan un resultado de cero.
Cuando n es impar, todas las áreas excepto una se cancelan para un
resultado de 1/n.
Así que podemos decir:
bn = 4hnπ cuando n es impar, y 0 en los demás casos
Y llegamos a nuestro último paso: poner los coeficientes en la fórmula maestra:
Y sabemos que
- a0 = 0
- an = 0 (¡todos!),
- bn = 0 cuando n es par
- bn = 4hnπ cuando n es impar
Finalmente:
f(x) = 4hπ ( sin(x) + sin(3x)3 + sin(5x)5 + ... )
En conclusión:
- Piense en cada coeficiente, dibuja las funciones y determina si puedes encontrar un patrón,
- Pon todo junto en la fórmula de la serie al final
Y cuando hayas terminado, ve al:
Graficador de Series de Fourier
¡y ve si lo hiciste bien!
¿Por qué no lo intentas con "sin((2n-1)*x)/(2n-1)"? Después de todo
2n−1 siempre da valores impares. Verifica si obtienes una onda
cuadrada.
Otras funciones
¡Por supuesto que podemos usar esto para muchas otras funciones!
Pero debemos ser capaces de calcular todos los coeficientes, lo que en
la práctica significa que calculamos el área de:
- la función
- la función multiplicada por el seno
- la función multiplicada por el coseno
Pero como vimos anteriormente, podemos usar trucos como separar la
función en pedazos, usar el sentido común, la geometría y el cálculo
para ayudarnos.
Estos son algunos de los más conocidos:
Onda | Serie | Graficador de Series de Fourier |
---|---|---|
Onda cuadrada | sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + ... | sin((2n−1)*x)/(2n−1) |
Sierra/Serrucho | sin(x) + sin(2x)/2 + sin(3x)/3 + ... | sin(n*x)/n |
Pulso | sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + ... | sin(n*x)*0.1 |
Triángulo | sin(x) − sin(3x)/9 + sin(5x)/25 − ... | sin((2n−1)*x)*(−1)^n/(2n−1)^2 |
Nota: ¡Diferentes versiones de la fórmula!
En esta página usamos la fórmula general:
Pero cuando la función f(x) tiene un periodo de -π a π podemos usar una versión simplificada
O también está esta, donde a0 se mete en la primera suma (ahora n=0 a ∞):
Pero prefiero la que usamos aquí, ya que es más práctica y permite diferentes periodos.