Sólidos de Revolución Mediante Cilindros

Capas cilíndricas en un tronco

Podemos tener una función como esta:

Sólidos de Revolución y=f(x)

Y girarla alrededor del eje y para obtener un sólido como este:

Sólidos de Revolución y=f(x)

Ahora, para encontrar su volumen podemos sumar "capas cilíndricas":

Sólidos de Revolución y=f(x)

Como su nombre lo indica, cada capa consiste de un cilindro cuya área es 2πr por su altura:

Sólidos de Revolución y=f(x)
A = 2π(radio)(altura)

Y el volumen se encuentra sumando todos esos cilindros usando Integración:

Volumen =
b
a
2π(radio)(altura) dx

Esa es nuestra fórmula para Sólidos de Revolución Mediante Cilindros

Estos son los pasos a seguir:

Como en este ejemplo:

Ejemplo: ¡Un cono!

Toma la función simple y = b − x entre x=0 y x=b

Sólidos de Revolución y=b-x

Gírala alrededor del eje y ... ¡y tenemos un cono!

Sólidos de Revolución y=b-x

Ahora imaginemos un cilindro adentro:

Sólidos de Revolución y=b-x

¿Cuál es el radio del cilindro? Es simplemente x
¿Cuál es la altura del cilindro? Es b−x

¿Cuál es el volumen? Integra 2π por x por (b−x) :

Volumen =
b
0
2π x(b−x) dx

Primero saquemos pi.

Recuerda que está permitido mover una constante como 2π fuera de la integral:

Volumen = 2π
b
0
x(b−x) dx

Desarrolla x(b−x) como bx − x2:

Volumen = 2π
b
0
(bx−x2) dx

Al usar las Reglas de Integración encontramos que la integral de bx − x2 es:

bx22x33 + C

Para calcular la integral definida entre 0 y b, calculamos el valor de la función para b y para 0 y restamos, así:

Volumen =2π(b×b22b33) − 2π(b×022033)
=2π(b32b33)
=2π(b36) porque 1213 = 16
=πb33
Compara ese resultado con el volumen más general de un cono:

Volumen = 1 3 π r2 h

Cuando ambos r=b y h=b se tiene:

Volumen = 1 3 π b3

Como reto interesante, ¿por qué no tratas de resolver tú mismo el caso más general para cualquier valor de r y h?

 

También podemos rotar sobre otros valores, como x=4

Ejemplo: y=x, pero girado alrededor de x=4, y solo de x=0 a x=3

Esto es lo que tenemos:

Sólidos de Revolución y=x

Girada sobre x = 4 se ve así:

Sólidos de Revolución y=x
Es un cono, pero con un agujero en el centro.

Dibujemos un cilindro de muestra para que podamos averiguar qué hacer:

Sólidos de Revolución y=x

¿Cuál es el radio del cilindro? Es 4−x  (no solo x, ya que estamos girando alrededor de x=4)
¿Cuál es la altura del cilindro? Es x

¿Cuál es el volumen? Integra 2π por (4−x) por x :

Volumen =
3
0
2π(4−x)x dx

2π afuera, y desarrolla (4−x)x como 4x − x2 :

Volumen = 2π
3
0
(4x−x2) dx

Al usar las Reglas de Integración encontramos que la integral de 4x − x2 es:

4x22x33 + C

Evaluando entre 0 y 3 se obtiene:

Volumen = 2π(4×322333) − 2π(4×022033)

= 2π(18−9)

= 18π

Podemos tener situaciones más complejas:

Ejemplo: De y=x hacia y=x2

Sólidos de Revolución alrededor del eje Y

Gira sobre el eje Y:

Sólidos de Revolución alrededor del eje Y

Dibujemos un cilindro de muestra:

Sólidos de Revolución alrededor del eje Y

¿Cuál es el radio del cilindro? Es simplemente x
¿Cuál es la altura del cilindro? Es x − x2

Ahora integra 2π por x por x − x2:

Volumen =
b
a
2π x(x − x2) dx

Pon 2π afuera y desarrolla x(x−x2) como x2−x3 :

Volumen = 2π
b
a
(x2 − x3) dx

La integral de x2 − x3 es x33x44

Ahora calcula el volumen entre a y b ... pero ¿qué es a y b? a es 0 y b es donde x cruza con x2, es decir, en 1

Volumen =2π ( 133144 ) − 2π ( 033044 )
=2π (112)
=π6

En resumen: