Sólidos de Revolución Mediante Cilindros
Podemos tener una función como esta:
Y girarla alrededor del eje y para obtener un sólido como este:
Ahora, para encontrar su volumen podemos sumar "capas cilíndricas":
Como su nombre lo indica, cada capa consiste de un cilindro cuya área es 2πr por su altura:
A = 2π(radio)(altura)
Y el volumen se encuentra sumando todos esos cilindros usando Integración:
Esa es nuestra fórmula para Sólidos de Revolución Mediante Cilindros
Estos son los pasos a seguir:
- haz un dibujo del sólido y de cómo encaja un cilindro en su interior
- integra 2π por el radio del cilindro por la altura del cilindro,
- ingresa los valores de b y a, resta y listo.
Como en este ejemplo:
Ejemplo: ¡Un cono!
Toma la función simple y = b − x entre x=0 y x=b
Gírala alrededor del eje y ... ¡y tenemos un cono!
Ahora imaginemos un cilindro adentro:
¿Cuál es el radio del cilindro? Es simplemente x
¿Cuál es la altura del cilindro? Es b−x
¿Cuál es el volumen? Integra 2π por x por (b−x) :
Primero saquemos pi.
Recuerda que está permitido mover una constante como 2π fuera de la integral:
Desarrolla x(b−x) como bx − x2:
Al usar las Reglas de Integración encontramos que la integral de bx − x2 es:
bx22 − x33 + C
Para calcular la integral definida entre 0 y b, calculamos el valor de la función para b y para 0 y restamos, así:
Volumen = 1 3 π r2 h
Cuando ambos r=b y h=b se tiene:
Volumen = 1 3 π b3
Como reto interesante, ¿por qué no tratas de resolver tú mismo el caso más general para cualquier valor de r y h?
También podemos rotar sobre otros valores, como x=4
Ejemplo: y=x, pero girado alrededor de x=4, y solo de x=0 a x=3
Esto es lo que tenemos:
Girada sobre x = 4 se ve así:
Es un cono, pero con un agujero en el centro.
Dibujemos un cilindro de muestra para que podamos averiguar qué hacer:
¿Cuál es el radio del cilindro? Es 4−x (no solo x,
ya que estamos girando alrededor de x=4)
¿Cuál es la altura del cilindro? Es x
¿Cuál es el volumen? Integra 2π por (4−x) por x :
2π afuera, y desarrolla (4−x)x como 4x − x2 :
Al usar las Reglas de Integración encontramos que la integral de 4x − x2 es:
4x22 − x33 + C
Evaluando entre 0 y 3 se obtiene:
Volumen = 2π(4×322 − 333) − 2π(4×022 − 033)
= 2π(18−9)
= 18π
Podemos tener situaciones más complejas:
Ejemplo: De y=x hacia y=x2
Gira sobre el eje Y:
Dibujemos un cilindro de muestra:
¿Cuál es el radio del cilindro? Es simplemente x
¿Cuál es la altura del cilindro? Es x − x2
Ahora integra 2π por x por x − x2:
Pon 2π afuera y desarrolla x(x−x2) como x2−x3 :
La integral de x2 − x3 es x33 − x44
Ahora calcula el volumen entre a y b ... pero ¿qué es a y b? a es 0 y b es donde x cruza con x2, es decir, en 1
En resumen:
- Dibuja el cilindro para que sepas lo que está pasando
- 2π afuera de la integral
- Integra el radio del cilindro multiplicado por la altura del mismo,
- Resta el extremo inferior del extremo superior
