Sólidos de Revolución Mediante Discos

Podemos tener una función, como esta:

Sólidos de Revolución y=f(x)

Y hacerla girar alrededor del eje x, así:

Sólidos de Revolución y=f(x)

Para encontrar su volumen podemos sumar una serie de rebanadas en forma de discos:

Sólidos de Revolución y=f(x)

La cara de cada disco es un círculo:

Sólidos de Revolución y=f(x)

El área de un círculo es π por radio al cuadrado:

A = π r2

Y el radio r es el valor de la función en ese punto f(x), por lo tanto:

A = π f(x)2

Y el volumen se encuentra sumando todos esos discos usando integración:

Volumen =
b
a
π f(x)2 dx

Y esa es nuestra fórmula para sólidos de revolución mediante discos

En otras palabras, para encontrar el volumen de revolución de una función f(x): integra pi multiplicado por el cuadrado de la función.

Ejemplo: Un Cono

Considera la función simple y=x entre 0 y b

Sólidos de Revolución y=x

Gírala alrededor del eje x ... ¡y tenemos un cono!

Sólidos de Revolución y=x

El radio de cualquier disco es el valor de la función f(x), que en nuestro caso es simplemente x

Sólidos de Revolución y=x

¿Cuál es su volumen? Integra pi multiplicado por el cuadrado de la función x:

Volumen =
b
0
π x2 dx

Primero saquemos pi.

Recuerda que está permitido mover una constante fuera de la integral:

Volumen = π
b
0
x2 dx

Al usar las Reglas de Integración encontramos que la integral de x2 es x3/3 + C

Para calcular esta integral definida, calculamos el valor de esa función para b y para 0 y restamos, así:

Volumen = π (b3/3 − 03/3)

= π b3/3

Compara ese resultado con el volumen más general de un cono:

Volumen = 1 3 π r2 h

Cuando ambos r=b y h=b se tiene:

Volumen = 1 3 π b3

Como reto interesante, ¿por qué no tratas de resolver tú mismo el caso más general para cualquier valor de r y h?

 

También podemos rotar sobre otras líneas, como x = −1

Ejemplo: Nuestro cono, pero girado sobre x = −1

Entonces ahora tenemos esto:

Sólidos de Revolución y=x

Rotado alrededor de x = −1 se ve así:

Sólidos de Revolución y=x

El cono ahora es más grande pero tiene su extremo afilado cortado (es un cono truncado).

Dibujemos un disco de muestra para que podamos averiguar qué hacer:

Sólidos de Revolución y=x

OKAY. Ahora bien, ¿cuál es el radio? Es nuestra función y = x más un 1 adicional:

y = x + 1

Luego integra pi por el cuadrado de esa función:

Volumen =
b
0
π (x+1)2 dx

Pi afuera y desarrolla (x+1)2, que es x2+2x+1 :

Volumen = π
b
0
(x2 + 2x + 1) dx

Al usar las Reglas de Integración encontramos que la integral de x2+2x+1 es x3/3 + x2 + x + C

Al ir de 0 y b se tiene:

Volumen = π (b3/3+b2+b − (03/3+02+0))

= π (b3/3+b2+b)

Ahora con otro tipo de función:

Ejemplo: Una función cuadrática

Considera y = x2 entre x=0.6 y x=1.6

Sólidos de Revolución y=x^2

Gírala alrededor del eje x

Sólidos de Revolución y=x^2

¿Cuál es su volumen? Integra pi multiplicado por el cuadrado de la función x2:

Volumen =
1.6
0.6
π (x2)2 dx

Simplifica al mover pi afuera, y también (x2)2 = x4 :

Volumen = π
1.6
0.6
x4 dx

La integral de x4 es x5/5 + C

Al evaluar entre 0.6 y 1.6 se tiene:

Volumen = π ( 1.65/5 − 0.65/5 )

6.54

¿Puedes girar y = x2 alrededor de x = −1 ?

En resumen:


 

Alrededor del eje Y

También podemos rotar sobre el eje Y:

Ejemplo: Una función cuadrática

Considera y=x2, pero esta vez en el eje y entre y=0.4 y y=1.4

Sólidos de Revolución en el eje Y

Gírala alrededor del eje Y

Sólidos de Revolución en el eje Y

¡Y ahora queremos integrar en la dirección y!

Entonces queremos algo como x = g(y) en lugar de y = f(x). En este caso es:

x = √(y)

Ahora integra pi por el cuadrado de √(y)2 (y dx ahora es dy):

Volumen =
1.4
0.4
π √(y)2 dy

Simplifica al mover pi afuera. También simplifica √(y)2 = y :

Volumen = π
1.4
0.4
y dy

La integral de y es y2/2

Y por último, evaluando entre 0.4 y 1.4 obtenemos:

Volumen = π ( 1.42/2 − 0.42/2 )

2.83...

 

Método de los discos con agujero central

Arandelas: Discos con agujero central
Discos con agujero central

¿Y si queremos el volumen entre dos funciones?

Nota: los discos con agujero central son conocidos con diversos nombres en los países de habla hispana: arandelas, guachas, guasas y golillas son algunas maneras de llamarles.

Ejemplo: El volumen entre las funciones y=x y y=x3 de x=0 a 1

Estas son las funciones:

Sólidos de Revolución entre y=x y y=x^3

Giradas alrededor del eje X:

Sólidos de Revolución entre y=x y y=x^3

Los discos ahora tienen un agujero central:

Sólidos de Revolución entre y=x y y=x^3

Y tienen el área de una corona circular:

corona circular r y R
En nuestro caso R = x y r = x3

En efecto, esto es lo mismo que el método de los discos, excepto que restamos un disco de otro.

Y entonces nuestra integración tiene esta forma:

Volumen =
1
0
π (x)2π (x3)2 dx

Mueve pi afuera (en ambas funciones) y simplifica (x3)2 = x6:

Volumen = π
1
0
x2 − x6 dx

La integral de x2 es x3/3 y la integral de x6 es x7/7

Entonces, al evaluar entre 0 y 1 se obtiene:

Volumen = π [ (13/3 − 17/7 ) − (0−0) ]

≈ 0.598...

Entonces, el método de los discos con agujero central es como el método de los discos, pero restando un disco interno de uno externo.