Teoremas Fundamentales del Cálculo
Resumen
En términos simples, estos son los teoremas fundamentales del cálculo:
Cuando conocemos la integral indefinida:
Luego podemos calcular una integral definida entre a y b por la diferencia entre los valores de las integrales indefinidas en b y a:
Exploremos los detalles:
Primer Teorema Fundamental del Cálculo
Para una función continua f(x) en un intervalo [a, b] con la integral:
Entonces la derivada de la integral F(x) nos devuelve la función original f(x):
Esto significa que la derivada de la integral de f respecto a su límite superior es la función f misma.
Ejemplo: f(x) = 2x
La integral de 2x es x2, y usando el segundo teorema (abajo):
Tomando la derivada:
Así que la derivada de la integral de 2x nos devolvió 2x de nuevo.
Ejemplo: Velocidad constante
Un coche viaja a una velocidad constante de 50 km por hora durante exactamente una hora:
Nota: "C" es la distancia que el coche ya había recorrido.
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo
Cuando tenemos una función continua f(x) en un intervalo [a, b], y su integral indefinida es F(x), entonces:
En otras palabras, la integral definida de f(x) desde a hasta b es igual a la diferencia en los valores de F(x) en b y a
Esto facilita calcular una integral definida si podemos encontrar su integral indefinida.
Ejemplo
Imagina que estamos llenando un tanque de agua, y la tasa a la que el agua fluye hacia el tanque está dada por f(t), donde t es el tiempo en minutos.
Si F(t) mide el volumen total de agua en el tanque en cualquier momento t, entonces la cantidad de agua añadida al tanque entre los tiempos a y b es F(b) - F(a).
