Funciones Hiperbólicas

Las dos funciones hiperbólicas básicas son "sinh" y "cosh":

Seno hiperbólico:

sinh(x) = ex − e−x 2


Coseno hiperbólico:

cosh(x) = ex + e−x 2


 

Estas funciones usan la función exponencial natural ex

Y no son lo mismo que sin (x) y cos (x), pero tienen un poco de similitud:

sinh vs sin
sinh vs sin

cosh vs cos
cosh vs cos

rope bridge

Catenaria

Uno de los usos interesantes de las funciones hiperbólicas es la curva que forman los cables o cadenas suspendidos.

Un cable colgante forma una curva denominada catenaria definida mediante la función cosh:

f(x) = a cosh(x/a)

Como en este ejemplo de la página longitud de arco:

catenaria

Otras funciones hiperbólicas

De sinh y cosh podemos crear:

Tangente hiperbólica "tanh":

tanh(x) = sinh(x) cosh(x) = ex − e−x ex + e−x

tanh vs tan
tanh vs tan

 

Cotangente hiperbólica:

coth(x) = cosh(x) sinh(x) = ex + e−x ex − e−x

 

Secante hiperbólica:

sech(x) = 1 cosh(x) = 2 ex + e−x

 

Cosecante hiperbólica: "csch" o "cosech":

csch(x) = 1 sinh(x) = 2 ex − e−x

¿Por qué la palabra "hiperbólica"?

Porque proviene de mediciones realizadas en una hipérbola:

tanh vs tan

Entonces, al igual que las funciones trigonométricas se relacionan con un círculo, las funciones hiperbólicas se relacionan con una hipérbola.

Identidades

Y también:

Par e impar

Tanto cosh como sech son funciones pares, el resto son funciones impares.

Derivadas

Sus derivadas son:

d dx sinh(x) = cosh(x)

d dx cosh(x) = sinh(x)

d dx tanh(x) = 1 − tanh2(x)