Cómo Funciona un Quincunce

Un quincunce, también conocido como "tablero de Galton" (llamado así en honor a Sir Francis Galton), es una disposición triangular de clavos (¡pruébalo y juega un poco!).

Se dejan caer bolas sobre el clavo superior y luego van rebotando hacia abajo, donde se recogen en pequeños contenedores.

Cada vez que una bola golpea uno de los clavos, rebota hacia la izquierda o hacia la derecha.

Curva de campana simétrica de una distribución normal

Pero esto es lo interesante: ¡las bolas se acumulan en los contenedores siguiendo la clásica "campana" de la distribución normal!

Al ser eventos aleatorios individuales, no seguirán a la perfección la curva suave de la distribución normal, pero sí tienden hacia ella.

Los resultados del quincunce son en realidad una distribución binomial. Pero a medida que añadimos más filas y más bolas, ¡se parece cada vez más a la curva suave de la distribución normal!

Fórmula

¡Podemos calcular las probabilidades!

Piensa en esto: una bola acaba en el contenedor que está a k lugares desde la derecha cuando ha dado k giros a la izquierda.

En este ejemplo, todos los rebotes son hacia la derecha excepto dos rebotes hacia la izquierda. Terminó en el contenedor a dos lugares desde la derecha.

En el caso general, cuando el quincunce tiene n filas, la bola puede tener k rebotes hacia la izquierda y (n-k) rebotes hacia la derecha.

Nota: n es el número de rebotes (izquierda o derecha). Eso da n+1 contenedores en la parte inferior (de 0 a n).

La probabilidad suele ser del 50% hacia cualquier lado, pero podría ser 60%-40%, y así sucesivamente.

Así que cuando la probabilidad de rebotar hacia la izquierda es p, la probabilidad hacia la derecha es (1-p) y podemos calcular la probabilidad de cualquier camino individual así:

		La bola rebota k veces a la izquierda con una probabilidad de p: p^k
		Y los otros rebotes (n-k) tienen la probabilidad opuesta de: (1-p)^(n-k)
		Así que la probabilidad de seguir dicho camino es p^k(1-p)^(n-k)

¡Pero podría haber muchos caminos así! Por ejemplo, los giros a la izquierda podrían ser el 1.º y el 2.º, o el 1.º y el 3.º, o el 2.º y el 7.º, y así sucesivamente.

Podemos enumerar todos esos caminos (IIDDD..., IDIDD..., IDDDI...), pero hay dos formas más fáciles.

Cuántos caminos

Podemos usar el Triángulo de Pascal. De hecho, el quincunce es exactamente como el Triángulo de Pascal, con clavos en lugar de números. El número en cada clavo nos muestra cuántos caminos diferentes se pueden tomar para llegar a ese clavo. Increíble pero cierto.

O podemos usar esta fórmula del tema de Combinaciones:

binomial n sobre k = n!/k!(n-k!)

Esto se suele llamar "n sobre k" y también se escribe C(n,k).

Es el cálculo del número de formas de distribuir k cosas en una secuencia de n.

Nota: El signo "!" significa "factorial". Por ejemplo 4! = 1×2×3×4 = 24

Juntándolo todo, la fórmula resultante es:

f(k;n,p) = (n sobre k) p^k (1-p)^(n-k)
(Que, por cierto, es la fórmula de la Distribución Binomial).

Ejemplo:

Para 10 filas (n=10) y una probabilidad de rebotar a la izquierda de 0.5 (p=0.5), podemos calcular la probabilidad de estar a 3 contenedores de distancia desde la derecha así:

f(3;10,0.5) = (10 sobre 3) 0.5^3 (1-0.5)^(10-3)
también:

(10 sobre 3) = 10! / 3!(10-3)! = 120
(Esto significa que hay 120 caminos diferentes que
pueden terminar con la bola a 3 contenedores de distancia de la derecha).

Así que obtenemos:

De hecho, podemos construir una tabla completa para filas=10 y probabilidad=0.5 de esta manera:

Desde la derecha:	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Probabilidad:	0.001	0.010	0.044	0.117	0.205	0.246	0.205	0.117	0.044	0.010	0.001
Ejemplo: 100 bolas	0	1	4	12	21	24	21	12	4	1	0

Por supuesto, esto es algo aleatorio, por lo que tus resultados pueden variar respecto a esta situación ideal.

Otro ejemplo:

Cuando la probabilidad de rebotar a la izquierda es 0.8, la tabla queda así:

Desde la derecha	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Probabilidad	0.107	0.268	0.302	0.201	0.088	0.026	0.006	0.001	0.000	0.000	0.000
Ejemplo: 100 bolas	11	26	30	20	9	3	1	0	0	0	0

Pruébalo tú mismo

Pasa 100 (o más) bolas por el quincunce y mira qué resultados obtienes. ¡Es como ver una carrera matemática en cámara lenta!

Yo mismo lo he hecho muchas veces mientras desarrollaba el programa. Nunca obtuve el resultado perfecto, pero siempre algo sorprendentemente cercano. ¡Buena suerte!