El triángulo de Pascal
Uno de los patrones de números más interesantes el es triángulo de
Pascal (llamado así en honor de Blaise Pascal, un famoso
matemático y filósofo francés).
Para construir el triángulo, empieza con "1" arriba, y pon números
debajo formando un triángulo.
Cada número es la suma de los dos números que tiene
encima
(Aquí está remarcado que 1+3 = 4)
Pautas en el triángulo
Diagonales
La primera diagonal es, por supuesto, solo "1" s.
La siguiente diagonal la forman los números
para contar (1,2,3, etc).
La tercera diagonal son los números
triangulares
(La cuarta diagonal, que no hemos remarcado, son los números
tetraédricos).
Simetría
El triángulo es simétrico, esto
quiere decir que se ve igual desde la derecha que desde la izquierda,
como una imagen en un espejo.
Sumas horizontales
¿Notas algo en las sumas horizontales?
¿Hay algún patrón?
Se dobla cada vez (son las potencias
de 2).
Exponentes de 11
Cada línea son también las potencias (exponentes)
de 11:
- 110=1 (la primera línea es solo un "1")
- 111=11 (la segunda línea es "1" y "1")
- 112=121 (la tercera línea es "1", "2", "1")
- etc!
¿Pero qué hay de 115 ?
¡Simple! Los dígitos simplemente se superponen, así:
Lo mismo pasa con 116, etc.
Cuadrados
Para la segunda diagonal, el cuadrado de un número es igual a la suma de
los números al lado y debajo de ambos.
Ejemplos:
- 32 = 3 + 6 = 9,
- 42 = 6 + 10 = 16,
- 52 = 10 + 15 = 25,
- ...
También hay una buena razón ... ¿se te ocurre? (Tip: 42=6+10,
6=3+2+1, y 10=4+3+2+1)
Sucesión de Fibonacci
Prueba esto: empieza con un 1 de la izquierda, da un paso arriba y uno
al lado, suma los cuadrados donde caigas (como en el dibujo)... las
sumas que salen son la sucesión
de Fibonacci.
(La sucesión de Fibonacci se hace sumando dos números para conseguir
el siguiente, por ejemplo 3+5=8, después 5+8=13, etc.)
Pares e impares
Si usas distintos colores para los números pares e impares, obtienes un
patrón igual al del triángulo de
Sierpinski
Usar el triángulo de Pascal
Águila y sol
El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de águilas y
soles de pueden salir tirando monedas. Así puedes averiguar la probabilidad
de cualquier combinación.
Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, solo hay una manera de
sacar tres águilas (AAA), pero hay tres maneras de sacar dos águilas y
un sol (AAS, ASA, SAA), también tres de sacar una águila y dos soles
(ASS, SAS, ASS) y solo una de sacar tres soles (SSS). Esta es la pauta
"1,3,3,1" en el triángulo de Pascal.
Tiradas |
Resultados posibles (agrupados) |
Triángulo de Pascal |
1 |
A
S |
1, 1 |
2 |
AA
AS SA
SS |
1, 2, 1 |
3 |
AAA
AAS, ASA, SAA
ASS, SAS, SSA
SSS |
1, 3, 3, 1 |
4 |
AAAA
AAAS, AASA, ASAA, SAAA
AASS, ASAS, ASSA, SAAS, SASA, SSAA
ASSS, SASS, SSAS, SSSA
SSSS |
1, 4, 6, 4, 1 |
|
... etc ... |
|
¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos águilas con 4
monedas?
Hay 1+4+6+4+1 = 16 (o 24=16) resultados posibles, y 6 de
ellos dan exactamente dos caras. Así que la probabilidad es 6/16, o
37.5%
Combinaciones
El triángulo también muestra cuántas combinaciones
de objetos son posibles.
Ejemplo: si tienes 16 bolas de billar, ¿de cuántas maneras puedes
elegir tres de ellas (sin hacer diferencia del orden en que las
eliges)?
Respuesta: baja a la fila 16 (la primera es la fila 0), y mira 3
lugares a la derecha, allí está la respuesta, 560.
Aquí tienes un trozo del triángulo en la fila 16:
1 14 91 364 ...
1 15 105 455 1365 ...
1 16 120 560 1820 4368 ...
Una fórmula para cualquier entrada en el triángulo
De hecho, existe una fórmula de combinaciones
para calcular el valor en cualquier lugar del triángulo de Pascal:
Se conoce como "n en k" y se escribe así:
|
|
|
Notación: "n en k" también se puede escribir C(n,k), nCk
o también nCk.
|
El signo "!" es el "factorial"
e indica multiplicar una serie de números naturales
descendentes. Ejemplos:
- 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
- 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
- 1! = 1
|
Entonces el triángulo de Pascal también podría ser un
triángulo "n en k" como este.
(Ten en cuenta que la fila superior es la fila cero y
también la columna más a la izquierda es cero)
Ejemplo: Fila 4, el segundo término término en el triángulo de
Pascal es "6" ...
... veamos si la fórmula funciona:
¡Sí, funciona! Prueba con otro valor por tí mismo.
Esto puede ser muy útil ... ahora puedes calcular cualquier valor en el
triángulo de Pascal directamente (sin calcular todo
el triángulo encima de él).
Polinomios
El triángulo de Pascal también te da los coeficientes de expansión
binomial:
Potencia |
Expansión binomial |
Triángulo de Pascal |
2 |
(x + 1)2 = 1x2 + 2x + 1 |
1, 2, 1 |
3 |
(x + 1)3 = 1x3 + 3x2
+ 3x + 1 |
1, 3, 3, 1 |
4 |
(x + 1)4 = 1x4 + 4x3
+ 6x2 + 4x + 1 |
1, 4, 6, 4, 1 |
|
... etc ... |
|
Las 15 primeras líneas
Como referencia, aquí tienes las filas 0 a 14 del triángulo de Pascal
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
Los chinos ya lo conocían
Este dibujo se titula "El antiguo gráfico del método de los siete
cuadrados multiplicadores". Ver
imagen completa
Esto es de la portada del libro de Chu Shi-Chieh "
Ssu Yuan Yü Chien"
(Espejo precioso de los cuatro elementos), escrito en
1303
(¡hace más de 700 años!), y en el libro se dice que el triángulo ya era
conocido más de dos siglos antes
El quincunce
Esta asombrosa máquina creada por Sir Francis Galton es un triángulo
de Pascal hecho con palos. Se llama quincunce.
Las bolas se dejan caer sobre el primer palo y rebotan hasta abajo del
triángulo donde caen en pequeños contenedores.
Parece completamente aleatorio (y lo es) pero después de un rato verás
que las bolas caen en un bonito patrón: la distribución
normal.
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este
tema! (Nota: están en inglés).