El triángulo de Pascal

triángulo de Pascal 1+3=4

Uno de los patrones de números más interesantes el es triángulo de Pascal (llamado así en honor de Blaise Pascal, un famoso matemático y filósofo francés).

Para construir el triángulo, empieza con "1" arriba, y pon números debajo formando un triángulo.

Cada número es la suma de los dos números que tiene encima

(Aquí está remarcado que 1+3 = 4)

Pautas en el triángulo

triángulo de pascal 1s, contando, triangular

Diagonales

La primera diagonal es, por supuesto, solo "1" s.

La siguiente diagonal la forman los números para contar (1,2,3, etc).

La tercera diagonal son los números triangulares

(La cuarta diagonal, que no hemos remarcado, son los números tetraédricos).

 

Simetría del triángulo de Pascal

Simetría

El triángulo es simétrico, esto quiere decir que se ve igual desde la derecha que desde la izquierda, como una imagen en un espejo.

 

triángulo de pascal potencia 2

Sumas horizontales

¿Notas algo en las sumas horizontales?
¿Hay algún patrón?

Se dobla cada vez (son las potencias de 2).

 

triángulo de pascal potencia 11

Exponentes de 11

Cada línea son también las potencias (exponentes) de 11:

¿Pero qué hay de 115 ? ¡Simple! Los dígitos simplemente se superponen, así:

triángulo de pascal potencia 11b

Lo mismo pasa con 116, etc.

 

triángulo de pascal cuadrados

Cuadrados

Para la segunda diagonal, el cuadrado de un número es igual a la suma de los números al lado y debajo de ambos.

Ejemplos:

También hay una buena razón ... ¿se te ocurre? (Tip: 42=6+10, 6=3+2+1, y 10=4+3+2+1)

 

triángulo de pascal fibonacci

Sucesión de Fibonacci

Prueba esto: empieza con un 1 de la izquierda, da un paso arriba y uno al lado, suma los cuadrados donde caigas (como en el dibujo)... las sumas que salen son la sucesión de Fibonacci.

(La sucesión de Fibonacci se hace sumando dos números para conseguir el siguiente, por ejemplo 3+5=8, después 5+8=13, etc.) 

 

triángulo de pascal 3

Pares e impares

Si usas distintos colores para los números pares e impares, obtienes un patrón igual al del triángulo de Sierpinski

Usar el triángulo de Pascal

Águila y sol

El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de águilas y soles de pueden salir tirando monedas. Así puedes averiguar la probabilidad de cualquier combinación.

Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, solo hay una manera de sacar tres águilas (AAA), pero hay tres maneras de sacar dos águilas y un sol (AAS, ASA, SAA), también tres de sacar una águila y dos soles (ASS, SAS, ASS) y solo una de sacar tres soles (SSS). Esta es la pauta "1,3,3,1" en el triángulo de Pascal.

Tiradas Resultados posibles (agrupados) Triángulo de Pascal
1 A
S
1, 1
2 AA
AS SA
SS
1, 2, 1
3 AAA
AAS, ASA, SAA
ASS, SAS, SSA
SSS
1, 3, 3, 1
4 AAAA
AAAS, AASA, ASAA, SAAA
AASS, ASAS, ASSA, SAAS, SASA, SSAA
ASSS, SASS, SSAS, SSSA
SSSS
1, 4, 6, 4, 1
  ... etc ...  

¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos águilas con 4 monedas?

Hay 1+4+6+4+1 = 16 (o 24=16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos caras. Así que la probabilidad es 6/16, o 37.5%

Combinaciones

El triángulo también muestra cuántas combinaciones de objetos son posibles.

Ejemplo: si tienes 16 bolas de billar, ¿de cuántas maneras puedes elegir tres de ellas (sin hacer diferencia del orden en que las eliges)?

Respuesta: baja a la fila 16 (la primera es la fila 0), y mira 3 lugares a la derecha, allí está la respuesta, 560.

Aquí tienes un trozo del triángulo en la fila 16:

1    14    91    364  ...
1    15    105   455   1365  ...
1    16   120   560   1820  4368  ...

 

Una fórmula para cualquier entrada en el triángulo

De hecho, existe una fórmula de combinaciones para calcular el valor en cualquier lugar del triángulo de Pascal:

Se conoce como "n en k" y se escribe así:

  n en k = n! / k!(n-k)!

Notación: "n en k" también se puede escribir C(n,k), nCk o también nCk.

Símbolo de factorial

El signo "!" es el "factorial" e indica multiplicar una serie de números naturales descendentes. Ejemplos:

  • 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
  • 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
  • 1! = 1

 

Combinaciones de triángulos de Pascal

Entonces el triángulo de Pascal también podría ser un triángulo "n en k" como este.

(Ten en cuenta que la fila superior es la fila cero y también la columna más a la izquierda es cero)

Ejemplo: Fila 4, el segundo término término en el triángulo de Pascal es "6" ...

... veamos si la fórmula funciona:

4 en 2 = 4! / 2!(4-2)! = (4x3x2x1)/(2x1x2x1) = 6

¡Sí, funciona! Prueba con otro valor por tí mismo.

Esto puede ser muy útil ... ahora puedes calcular cualquier valor en el triángulo de Pascal directamente (sin calcular todo el triángulo encima de él).

 

Polinomios

El triángulo de Pascal también te da los coeficientes de expansión binomial:

Potencia Expansión binomial Triángulo de Pascal
2 (x + 1)2 = 1x2 + 2x + 1 1, 2, 1
3 (x + 1)3 = 1x3 + 3x2 + 3x + 1 1, 3, 3, 1
4 (x + 1)4 = 1x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1 1, 4, 6, 4, 1
  ... etc ...  

Las 15 primeras líneas

Como referencia, aquí tienes las filas 0 a 14 del triángulo de Pascal

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1

 

Triángulo de pascal chino

Los chinos ya lo conocían

Este dibujo se titula "El antiguo gráfico del método de los siete cuadrados multiplicadores". Ver imagen completa

Esto es de la portada del libro de Chu Shi-Chieh "Ssu Yuan Yü Chien" (Espejo precioso de los cuatro elementos), escrito en 1303 (¡hace más de 700 años!), y en el libro se dice que el triángulo ya era conocido más de dos siglos antes

El quincunce

quincunce

Esta asombrosa máquina creada por Sir Francis Galton es un triángulo de Pascal hecho con palos. Se llama quincunce.


Las bolas se dejan caer sobre el primer palo y rebotan hasta abajo del triángulo donde caen en pequeños contenedores.

distribución normal estándar

Parece completamente aleatorio (y lo es) pero después de un rato verás que las bolas caen en un bonito patrón: la distribución normal.

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).

Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Question 7 Question 8 Question 9 Question 10 Question 11  
Actividad: Subconjuntos


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