Distribución Binomial

"Bi" significa "dos" (como una bicicleta tiene dos ruedas) ...
... así que este tema se trata de cosas con dos resultados.

cara y sello en una moneda

Lanzar una Moneda:

¿Obtuvimos Cara (C), o
Sello (S)?

Decimos que la probabilidad de que la moneda caiga C es ½
Y la probabilidad de que caiga S es ½

Dado de seis caras mostrando el número cuatro

Lanzar un Dado:

¿Cayó un cuatro ... ?
... ¿o no?

Decimos que la probabilidad de un cuatro es 1/6 (una de las seis caras es un cuatro)
Y la probabilidad de no cuatro es 5/6 (cinco de las seis caras no son un cuatro)

Ten en cuenta que un dado tiene 6 caras, pero aquí vemos solo dos casos: "cuatro: sí" o "cuatro: no"

¡Lancemos una moneda!

Lanza una moneda justa tres veces ... ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente dos Caras?

Usando C para cara y S para sello, podemos obtener cualquiera de estos 8 resultados:

CCC
CCS
CSC
CSS
SCC
SCS
SSC
SSS

¿Qué resultados queremos?

"Dos Caras" pueden estar en cualquier orden: "CCS", "SCC" y "CSC" tienen dos caras (y un sello).

Entonces 3 de los resultados producen "Dos Caras".

¿Cuál es la probabilidad de cada resultado?

Cada resultado es igualmente probable, y hay 8 de ellos, por lo que cada resultado tiene una probabilidad de 1/8

Así que la probabilidad del evento "Dos Caras" es:

Número de resultados que queremos		Probabilidad de cada resultado
3	×	1/8	= 3/8

Entonces la probabilidad de obtener Dos Caras es 3/8

Usamos palabras especiales:

Resultado: cualquier resultado de tres lanzamientos de una moneda (8 posibilidades diferentes)
Evento: "Dos Caras" en tres lanzamientos de una moneda (3 resultados tienen esto)

3 Caras, 2 Caras, 1 Cara, Ninguna

Los cálculos son (P significa "Probabilidad de"):

P(Tres Caras) = P(CCC) = 1/8
P(Dos Caras) = P(CCS) + P(CSC) + P(SCC) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
P(Una Cara) = P(CSS) + P(SCS) + P(SSC) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
P(Cero Caras) = P(SSS) = 1/8

Podemos escribir esto en términos de una Variable Aleatoria "X" = "El número de Caras de 3 lanzamientos de una moneda":

P(X = 3) = 1/8
P(X = 2) = 3/8
P(X = 1) = 3/8
P(X = 0) = 1/8

Y así es como se ve en una gráfica:

Gráfico de barras simétrico que muestra la distribución binomial para n=3, p=0.5
¡Es simétrica!

Elaborando una fórmula

Ahora imagina que queremos las probabilidades de 5 caras en 9 lanzamientos: ¡enumerar los 512 resultados llevará mucho tiempo!

Entonces hagamos una fórmula.

En nuestro ejemplo anterior, ¿cómo podemos obtener los valores 1, 3, 3 y 1?

Triángulo de Pascal

Bueno, ¡en realidad están en el Triángulo de Pascal!

¿Podemos obtenerlos usando una fórmula?

¡Claro que sí!, y aquí está:

Fórmula de n sobre k: n factorial dividido entre k factorial por n menos k factorial
n! / k!(n-k)!

La fórmula puede parecer intimidante pero es fácil de usar. Solo necesitamos dos números:

n = número total
k = número que queremos

El "!" significa "factorial", por ejemplo 4! = 1×2×3×4 = 24

Nota: a menudo se le llama "n sobre k" (o "n en k") y puedes aprender más aquí.

Probémosla:

Ejemplo: con 3 lanzamientos, ¿cuáles son las probabilidades de 2 Caras?

Tenemos n=3 y k=2:

n!k!(n-k)! =3!2!(3-2)! =3×2×12×1 × 1 = 3

Entonces hay 3 resultados que tienen "2 Caras"

(Ya lo sabíamos, pero ahora tenemos una fórmula para ello).

Usémosla para una pregunta más difícil:

Ejemplo: con 9 lanzamientos, ¿cuáles son las probabilidades de 5 Caras?

Tenemos n=9 y k=5:

n!k!(n-k)! =9!5!(9-5)! =9×8×7×6×5×4×3×2×15×4×3×2×1 × 4×3×2×1 =126

Entonces 126 de los resultados tendrán 5 caras

Y para 9 lanzamientos hay un total de 2⁹ = 512 resultados, por lo que obtenemos la probabilidad:

Número de resultados que queremos		Probabilidad de cada resultado
126	×	1512	=	126512

Entonces:

P(X=5) = 126512 = 0.24609375

Aproximadamente un 25% de probabilidad.

(Más fácil que enumerarlos todos).

¡Sesgo!

Hasta ahora las probabilidades de éxito o fracaso han sido igualmente probables.

Pero ¿qué pasa si las monedas están sesgadas (caen más de un lado que de otro) o las opciones no son 50/50?

Ejemplo: Vendes sándwiches. El 70% de las personas elige pollo, el resto elige otra cosa.

¿Cuál es la probabilidad de vender sándwiches de pollo a 2 de los siguientes 3 clientes?

Esto es como el ejemplo de caras y sellos, pero con 70/30 en lugar de 50/50.

Dibujemos un diagrama de árbol:

diagrama de árbol pollo

Los casos de "Dos Pollos" están resaltados.

Las probabilidades para "dos pollos" resultan ser todas 0.147, porque estamos multiplicando dos 0.7 y un 0.3 en cada caso. En otras palabras

0.147 = 0.7 × 0.7 × 0.3

O, usando exponentes:

= 0.7² × 0.3¹

El 0.7 es la probabilidad de cada opción que queremos, llamémosla p

El 2 es el número de opciones que queremos, llamémoslo k

Y tenemos (hasta ahora):

= p^k × 0.3¹

El 0.3 es la probabilidad de la opción opuesta, por lo que es: 1−p

El 1 es el número de opciones opuestas, por lo que es: n−k

Lo cual nos da:

= p^k(1-p)^(n-k)

Donde

p es la probabilidad de cada opción que queremos
k es el número de opciones que queremos
n es el número total de opciones

Ejemplo: (continuación)

p = 0.7 (probabilidad de pollo)
k = 2 (elecciones de pollo)
n = 3 (elecciones totales)

Así que tenemos:

p^k(1-p)^(n-k) =0.7²(1-0.7)^(3-2) =0.7²(0.3)⁽¹⁾ =0.7 × 0.7 × 0.3 =0.147

que es lo que obtuvimos antes, pero ahora usando una fórmula

Ahora sabemos que la probabilidad de cada resultado es 0.147

Pero hay tres formas en que puede suceder: (pollo, pollo, otro) o (pollo, otro, pollo) o (otro, pollo, pollo)

Ejemplo: (continuación)

El número total de resultados de "dos pollos" es:

n!k!(n-k)! =3!2!(3-2)! =3×2×12×1 × 1 =3

Y tenemos:

Número de resultados que queremos		Probabilidad de cada resultado
3	×	0.147	=	0.441

Entonces la probabilidad del evento "2 personas de cada 3 eligen pollo" = 0.441

Bien. Eso fue mucho trabajo para algo que ya sabíamos, pero ahora tenemos una fórmula que podemos usar para preguntas más difíciles.

Ejemplo: Lucas dice "70% elige pollo, por lo que 7 de los siguientes 10 clientes deberían elegir pollo" ... ¿cuál es la probabilidad de que Lucas tenga razón?

Tenemos:

p = 0.7
n = 10
k = 7

Y obtenemos:

p^k(1-p)^(n-k) =0.7⁷(1-0.7)^(10-7) =0.7⁷(0.3)⁽³⁾ =0.0022235661

Esa es la probabilidad de cada resultado.

Y el número total de esos resultados es:

n!k!(n-k)! =10!7!(10-7)! =10×9×8×7×6×5×4×3×2×17×6×5×4×3×2×1 × 3×2×1 =10×9×83×2×1 =120

Y tenemos:

Número de resultados que queremos		Probabilidad de cada resultado
120	×	0.0022235661	=	0.266827932

Entonces la probabilidad de que 7 de cada 10 elijan pollo es solo de aproximadamente el 27%

Moraleja de la historia: a pesar de que el promedio a largo plazo es del 70%, no esperes exactamente 7 de los siguientes 10. 6 de 10 y 8 de 10 también son probables, ¿por qué no los calculas como práctica?

Uniendo todo

Ahora sabemos cómo calcular cuántos:

n!k!(n-k)!

Y la probabilidad de cada uno:

p^k(1-p)^(n-k)

Al multiplicarlos obtenemos:

Probabilidad de k de un total de n formas:

P(k de n) = n!k!(n-k)! p^k(1-p)^(n-k)

La Fórmula General de Probabilidad Binomial

Notas importantes:

Los ensayos son independientes,
Solo hay dos resultados posibles en cada ensayo,
La probabilidad de "éxito" en cada ensayo es constante

Quincunce

Juega con el Quincunce (luego lee Quincunce Explicado) para ver la Distribución Binomial en acción.

Lanza el dado

Dado de seis caras mostrando el número cuatro

Se lanza un dado justo cuatro veces. Calcula las probabilidades de obtener:

0 dos
1 dos
2 dos
3 dos
4 dos

En este caso n=4, p = P(Dos) = 1/6

X es la Variable Aleatoria "Número de dos en cuatro lanzamientos".

Sustituye x = 0 a 4 en la fórmula:

P(k de n) = n!k!(n-k)! p^k(1-p)^(n-k)

Así (a 4 decimales):

P(X = 0) = 4!0!4! × (1/6)⁰(5/6)⁴ = 1 × 1 × (5/6)⁴ = 0.4823
P(X = 1) = 4!1!3! × (1/6)¹(5/6)³ = 4 × (1/6) × (5/6)³ = 0.3858
P(X = 2) = 4!2!2! × (1/6)²(5/6)² = 6 × (1/6)² × (5/6)² = 0.1157
P(X = 3) = 4!3!1! × (1/6)³(5/6)¹ = 4 × (1/6)³ × (5/6) = 0.0154
P(X = 4) = 4!4!0! × (1/6)⁴(5/6)⁰ = 1 × (1/6)⁴ × 1 = 0.0008

Resumen: "para los 4 lanzamientos, hay un 48% de probabilidad de que no haya ningún dos, 39% de probabilidad de 1 dos, 12% de probabilidad de 2 dos, 1.5% de probabilidad de 3 dos, y un diminuto 0.08% de probabilidad de que todos los lanzamientos sean un dos (¡pero aún así podría suceder!)"

Esta vez la gráfica no es simétrica:

Gráfico de barras asimétrico hacia la derecha que muestra la distribución binomial para n=4, p=1/6
¡No es simétrica!

Está sesgada porque p no es 0.5

bicicleta

Bicicletas deportivas

Tu empresa fabrica bicicletas deportivas. El 90% pasa la inspección final (y el 10% falla y debe repararse).

¿Cuáles son la Media y la Varianza esperadas de las siguientes 4 inspecciones?

Primero, calculemos todas las probabilidades.

n = 4,
p = P(Pasa) = 0.9

X es la Variable Aleatoria "Número de aprobados en cuatro inspecciones".

Sustituye x = 0 a 4 en la fórmula:

P(k de n) = n!k!(n-k)! p^k(1-p)^(n-k)

Así:

P(X = 0) = 4!0!4! × 0.9⁰0.1⁴ = 1 × 1 × 0.0001 = 0.0001
P(X = 1) = 4!1!3! × 0.9¹0.1³ = 4 × 0.9 × 0.001 = 0.0036
P(X = 2) = 4!2!2! × 0.9²0.1² = 6 × 0.81 × 0.01 = 0.0486
P(X = 3) = 4!3!1! × 0.9³0.1¹ = 4 × 0.729 × 0.1 = 0.2916
P(X = 4) = 4!4!0! × 0.9⁴0.1⁰ = 1 × 0.6561 × 1 = 0.6561

Resumen: "para las siguientes 4 bicicletas, hay una diminuta probabilidad del 0.01% de que ninguna pase, 0.36% de probabilidad de 1 pase, 5% de probabilidad de 2 pases, 29% de probabilidad de 3 pases y una enorme probabilidad del 66% de que todas pasen la inspección".

Media, varianza y desviación estándar

Calculemos la Media, Varianza y Desviación Estándar para las inspecciones de bicicletas deportivas.

Hay fórmulas (relativamente) simples para ellas. Son un poco difíciles de demostrar, ¡pero funcionan!

La media, o "valor esperado", es:

μ = np

Para las bicicletas deportivas:

μ = 4 × 0.9 = 3.6

Por lo tanto, podemos esperar que 3.6 bicicletas (de 4) pasen la inspección.
Realmente tiene sentido ... 0.9 de probabilidad por cada bicicleta multiplicada por 4 bicicletas es igual a 3.6

La fórmula para la Varianza es:

Varianza: σ² = np(1-p)

Y la Desviación Estándar es la raíz cuadrada de la varianza:

σ = √(np(1-p))

Para las bicicletas deportivas:

Varianza: σ² = 4 × 0.9 × 0.1 = 0.36

La Desviación Estándar es:

σ = √(0.36) = 0.6

Nota: también podríamos calcularlas manualmente, haciendo una tabla como esta:

X	P(X)	X × P(X)	X² × P(X)
0	0.0001	0	0
1	0.0036	0.0036	0.0036
2	0.0486	0.0972	0.1944
3	0.2916	0.8748	2.6244
4	0.6561	2.6244	10.4976
	SUMA:	3.6	13.32

La media es la Suma de (X × P(X)):

μ = 3.6

La varianza es la Suma de (X² × P(X)) menos Media²:

Varianza: σ² = 13.32 − 3.6² = 0.36

La Desviación Estándar es:

σ = √(0.36) = 0.6

¡Y obtuvimos los mismos resultados que antes (hurra)!

Resumen

La Fórmula General de Probabilidad Binomial:
P(k de n) = n!k!(n-k)! p^k(1-p)^(n-k)
Media de X: μ = np
Varianza de X: σ² = np(1-p)
Desviación Estándar de X: σ = √(np(1-p))

8815, 8816, 8820, 8821, 8828, 8829, 8609, 8610, 8612, 8613, 8614, 8615