Despeje de las Fórmulas de Interés Compuesto
¡Vamos a ver cómo se despejan las fórmulas, con ejemplos!
Para el interés compuesto, se calcula el interés del primer periodo, se suma al total, y después se calcula el interés del periodo siguiente, y así sucesivamente... como en este ejemplo:
Hagamos una fórmula
Empezamos mirando el primer año:
$1,000.00 + ($1,000.00 × 10%) = $1,100.00
Podemos reacomodar las operaciones así:
Así que sumar el 10% de interés es como multiplicar por 1.10
(Nota: la tasa de interés la hemos escrito en decimal dividiendo entre 100: 10% = 10/100 = 0.10, lee Porcentajes para saber más.)
Y la misma fórmula vale para todos los años:
- Podemos calcular el año siguiente así: $1,100 × 1.10 = $1,210
- Y seguimos otro año más: $1,210 × 1.10 = $1,331
- etc...
Así es como funciona:
De hecho podemos ir directamente desde el principio hasta el año 5, multiplicando 5 veces:
$1,000 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 = $1,610.51
Pero es más fácil escribir las multiplicaciones usando exponentes (o potencias) así:
La fórmula
Hemos usado un ejemplo real, pero podemos hacerlo en general con letras en vez de números, así:
(Compara esto con el cálculo anterior: VA = $ 1,000, r = 0.10, n = 5 y VF = $ 1,610.51)
- Cuando la tasa de interés es anual, entonces n es el número de años
- Cuando la tasa de interés es mensual, entonces n es la cantidad de meses
- y así sucesivamente
Ejemplos
¿Qué tal unos ejemplos...?
... ¿Y si el préstamo fuera de 15 años? ... sólo tienes que
cambiar el valor de "n":
... ¿y si el préstamo fuera de 5 años, pero la tasa de interés fuera sólo del 6%? Queda así:
(Ojo que es 1.06, no 1.6)
Las cuatro fórmulas
La fórmula básica para el interés compuesto es:
| VF = VA (1+r)n | Para calcular el valor futuro, donde:
|
Con esto podemos calcular VF si sabemos VA, la tasa de interés r y el número de periodos n.
Y reacomodando la fórmula podemos calcular VA, la tasa de interés o el número de periodos si sabemos los otros tres.
Aquí están las cuatro fórmulas:
| VF = VA (1+r)n | Calcula el valor futuro si sabemos el valor actual, la tasa de interés y el número de periodos. |
| VA = VF / (1+r)n | Calcula el valor actual si sabemos el valor futuro, la tasa de interés y el número de periodos. |
| r = ( VF / VA )1/n − 1 | Calcula la tasa de interés si sabemos el valor actual, el valor futuro y el número de periodos. |
| n = ln(VF / VA) ln(1 + r) | Calcula el número de periodos si sabemos el valor actual, el valor futuro y la tasa de interés. |
¿De dónde han salido las otras tres fórmulas? ¡Sigue leyendo!
Calcular el valor actual
Ejemplo: David quiere tener $2,000 en 5 años al 10%. ¿Con cuánto tiene que empezar?
O sea, sabes el valor futuro, y quieres saber el valor actual.
Sólo tenemos que despejar la fórmula... dividimos los dos lados por (1+r)n y nos queda:
Ahora podemos calcular la respuesta:
Ejemplo (continuación):
VA = $2,000 / (1+0.10)5 = $2,000 / 1.61051 = $1,241.84
Así que David debe tener inicialmente $1,241.84
Funciona así:
Otro ejemplo: ¿Cuánto tienes que invertir ahora para tener $10,000 en 10 años al 8% de interés?
VA = $10,000 / (1+0.08)10 = $10,000 / 2.1589 = $4,631.93
Entonces $4,631.93 invertidos al 8% durante 10 años crecerían hasta llegar a $10,000.
Calcular la tasa de interés
Ejemplo: David tiene $1,000, y quiere tener $2,000 en 5 años. ¿Qué tasa de interés necesita David?
Tenemos que reacomodar la primera fórmula para calcular esto.
(Nota: para entender lo de "calcular la raíz enésima" lee Exponentes Fraccionarios)
El resultado es:
r = ( VF / VA )1/n − 1
Ahora que tenemos la fórmula, sólo tenemos que "poner" los valores para tener el resultado:
Ejemplo (continuación):
r = ( $2,000 / $1,000 )1/5 − 1
= ( 2 )0.2 − 1
= 1.1487 − 1
= 0.1487
Y 0.1487 en porcentaje es 14.87%,
Así que David necesita una tasa de interés del 14.87% para que $1,000 se convirtieran en $2,000 en 5 años.
Otro ejemplo: ¿Qué tasa de interés te hace falta para que $1,000 se conviertan en $5,000 en 20 años?
r = ( $5,000 / $1,000 )1/20 − 1 = ( 5 )0.05 − 1 = 1.0838 − 1 = 0.0838
Y 0.0838 en porcentaje es 8.38%. Así que un 8.38% convertirá $1,000 en $5,000 en 20 años.
Calcular el número de periodos
Ejemplo: David solo puede obtener una tasa de interés del 10%. ¿Cuántos años le llevará a David obtener $ 2,000?
Si quieres saber cuántos periodos necesita David para que sus $1,000 se conviertan en $2,000 al 10% de interés, también para esto puedes reordenar la fórmula básica.
Pero nos va a hacer falta usar la función logaritmo natural ln() para calcularlo.
(Nota: para entender el paso "Usa logaritmos" lee Operaciones con Exponentes y Logaritmos).
Ahora "ponemos dentro" los valores:
Ejemplo (continuación):
n = ln( $2,000 / $1,000 ) / ln( 1 + 0.10 ) = ln(2)/ln(1.10) = 0.69315/0.09531 = 7.27
¡Magia! A David le harán falta 7.27 periodos para que sus $1,000 se conviertan en $2,000 al 10% de interés.
Pobre David, tendrá que esperar más de 7 años.
Otro ejemplo: ¿Cuántos años hacen falta para que $1,000 se conviertan en $10,000 al 5% de interés?
n = ln( $10,000 / $1,000 ) / ln( 1 + 0.05 ) = ln(10)/ln(1.05) = 2.3026/0.04879 = 47.19
¡47 años! Pero es que estamos hablando de multiplicar dinero por 10, solo al 5% de interés.
Conclusión
Ahora que has visto cómo despejamos cada fórmula y cómo se usan, esperamos que te sea más fácil acordarte de ellas, y usarlas en distintas situaciones.
