Notación de Dirac

También se llama notación de Dirac.

Bra-Ket es una forma de escribir vectores especiales. Se usa en física cuántica y se ve así:

bra|ket

Aquí hay un vector en 3 dimensiones:

vector en 3d

Podemos escribir esto como un vector de columna como este:

r =
a
b
c

O podemos escribirlo como un "ket":

r =
a
b
c

Pero los kets son especiales:

El "bra" es similar, pero los valores están en una fila y cada elemento es el complejo conjugado de los elementos del ket.

Ejemplo: este ket:

a =
2−3i
6+4i
3−i

Tiene su bra:

a =
2+3i
6−4i
3+i

Los valores ahora están en una fila, y también cambiamos el signo  a(+  −, y − a +) en medio de cada elemento.

En el "lenguaje matricial", cambiar un Ket por un bra (o un bra por un Ket) es una "transposición conjugada":

Lee más en tipos de matrices.

Multiplicar

Multiplicar un bra a y un ket b se ve así:

a|b

Usamos multiplicación de matrices, en particular el producto punto:

El "producto punto" es donde multiplicamos los miembros coincidentes y luego sumamos:

1
2
3
7
9
11
= 1×7 + 2×9 + 3×11 = 58

Emparejamos los primeros valores (1 y 7), los multiplicamos, igualmente para los segundos valores (2 y 9) y los terceros valores (3 y 11), y finalmente los sumamos.

En efecto, el producto escalar "proyecta" un vector sobre el otro antes de multiplicar las longitudes:

producto punto |a| cos(teta)   producto escalar brillo de luz


Como hacer brillar una luz para ver
donde yace la sombra

Cuando los dos vectores están en ángulos rectos, el producto escalar es cero:

producto escalar brillo luz ángulos rectos
¡No se proyecta ninguna sombra!

Ejemplo:

vectores en 2d

a =
1
0
, y b =
0
1

Por lo tanto:

a|b =
1
0
0
1
= 1×0 + 0×1 = 0

Esta puede ser una prueba simple para ver si los vectores son ortogonales (el concepto más general de "en ángulo recto")


El producto escalar de un vector consigo mismo es la longitud del vector por la longitud del vector. En otras palabras, es longitud2:

producto punto brillar luz mismo vector
¡Se proyecta una sombra completa!

Ejemplo:

c =
2
1

Entonces:

c|c =
2
1
2
1
= 2×2 + 1×1 = 5

El producto escalar es 5

Y también podemos calcular la longitud de c que es √5

Ejemplo: ¿Cuál es la longitud del vector [1, 2, −2, 5]?

1
2
−2
5
1
2
−2
5
= 1×1 + 2×2 + (−2)×(−2) + 5×5
= 1 + 4 + 4 + 25
= 34

El producto escalar es 34, por lo que la longitud del vector es √34


Nota: también podemos usar el teorema de Pitágoras para calcular su longitud:

√(12 + 22 + (−2)2 + 52) = √34

Base

vector en 3d

Podemos separar las partes de un vector como este:

r =
a
b
c
= a
1
0
0
+ b
0
1
0
+ c
0
0
1

Los vectores "1, 0, 0", "0, 1, 0" y "0, 0, 1" forman la base: los vectores con los que medimos las cosas.

En este caso, son vectores unitarios simples, pero se puede usar cualquier conjunto de vectores cuando son independientes entre sí (estando en ángulos rectos se logra esto) y juntos pueden abarcar cada parte del espacio.

La página sobre el rango de una matriz tiene más detalles sobre la dependencia lineal, espacio generado y más.

Base ortonormal

En la mayoría de los casos queremos una base ortonormal, es decir, que sea:

Nuestro sencillo ejemplo anterior funciona muy bien:

vectores en 2d
Los vectores están en ángulos rectos
y cada vector tiene una longitud de 1

Y este también funciona:


vectores en 2d

¡Vamos a comprobarlo!

¿El producto escalar es cero?

a·b = 1√2×1√2 + 1√2×−1√2

= 1212 = 0

¿Cada longitud es 1?

|a| = (1√2)2 + (1√2)2 = 12 + 12= 1

|b| = (1√2)2 + (−1√2)2 = 12 + 12= 1

¡Así que , es una base ortonormal!

El gato de Schrödinger

gato

Un ejemplo famoso es el "Gato de Schrödinger": un experimento mental en el que un gato está en una caja con un contenedor de gas activado cuánticamente. Existe la misma posibilidad de que esté vivo o muerto (hasta que abramos la caja).

Se puede escribir así:

gato= 1√2vivo + 1√2muerto

Dice que el estado del gato está en una superposición de los dos estados "vivo" y "muerto".

¿Pero por qué 1√2 ?

Primero vamos a ilustrarlo así:

vector del gato vivo/muerto

La base son los dos vectores vivo y muerto. El gato se muestra en ese espacio de probabilidad como un vector con componentes iguales a y d.

¡Ahora vamos a normalizarlo!

Normalizado

Un vector normalizado tiene una longitud de 1.

Sabemos que el producto escalar de un vector consigo mismo es de longitud2 , por lo que un vector normalizado tiene:

a|a = 12 = 1

Ejemplo: normalizar el vector del gato

 Si asumimos a = d = 1 obtenemos esto:

gato|gato =
1
1
1
1
= 1×1 + 1×1 = 2

Pero debería ser 1 , ¿verdad?

Vamos a intentar con 1√2:
gato|gato =
1√2
1√2
1√2
1√2
= 12 + 12= 1

Entonces a = d = 1√2, y tenemos:

gato = 1√2vivo + 1√2muerto

Y ahora tiene una longitud de 1

Probabilidad

Intentemos encontrar la probabilidad sumando las longitudes de los componentes a y d:

Probabilidad = 1√2 + 1√2
= 2√2 = √2  ???

Pero eso no puede ser correcto, la probabilidad no puede ser mayor que 1

De hecho, necesitamos tomar la magnitud de cada vector (que se muestra usando ||) y elevarla al cuadrado:

Probabilidad = |1√2|2 + |1√2|2
    = 12 + 12 = 1 (¡genial!)

Esta es una regla general en Física Cuántica:

La probabilidad es igual a la magnitud de la amplitud al cuadrado, en otras palabras:

Probabilidad = |Amplitud|2

El símbolo || indica la magnitud de un vector, no el valor absoluto.

Nombrar a los kets

Observa cómo somos libres de usar cualquier palabra o símbolo dentro del Ket. En algunos casos, también se usan números, pero se usan como etiquetas, así que no intentes hacer aritmética con ellos.

Muchas dimensiones

Fácilmente podemos tener muchas dimensiones.

dados superpuestos

Imagina "Dados cuánticos": cualquier dado es una superposición de 1, 2, 3, 4, 5 y 6 hasta que lo medimos. Luego "colapsa" en uno de esos estados.

Su ket se parece a:

dado =
a
b
c
d
e
f

Para un dado equilibrado todos los elementos (a, b, c, d, e, f) son iguales, ¡pero tus dados pueden estar cargados!

¿Por qué?

¿Por qué hacemos todo esto?

Para que podamos "mapear" algún caso del mundo real (generalmente uno con probabilidades) sobre una base matemática bien definida. Esto nos da el poder de usar todas las herramientas matemáticas para estudiarlo.

Conclusión

La notación bra-ket es una forma sencilla de referirse a un vector con elementos complejos, cualquier número de dimensiones, que representa un estado en un espacio de estados. La probabilidad de cualquier estado es igual a la magnitud de su vector al cuadrado.