Sólidos Platónicos - ¿Por Qué 5?

5 sólidos platónicos

Un sólido platónico es una figura 3D en la que:

Solo hay cinco de ellos ... ¿Por qué?

La razón más simple: los ángulos en un vértice

La razón más simple por la que solo hay 5 sólidos platónicos es esta:

en el vértice de un cubo coinciden tres caras

En cada vértice coinciden al menos 3 caras (tal vez más).

cubo: 90 grados en cada vértice

Cuando sumamos los ángulos internos que coinciden en un vértice,
esta suma debe ser inferior a 360 grados.

cuatro cuadrados (planos) sumarían 360 grados

¡Porque a 360° la forma se aplana!

Y, dado que las caras de los sólidos platónicos son todos polígonos regulares idénticos, tenemos:

triángulo regular

Un triángulo regular tiene ángulos internos de 60°, por lo que pueden coincidir:

  • 3 triángulos (3×60°=180°)
  • 4 triángulos (4×60°=240°)
  • o 5 triángulos (5×60°=300°)
cuadrilátero regular

Un cuadrado tiene ángulos internos de 90°, por lo que solo pueden coincidir:

  • 3 cuadrados (3×90°=270°)
pentágono regular

Un pentágono regular tiene ángulos internos de 108°, por lo que solo pueden coincidir:

  • 3 pentágonos (3×108°=324°)
hexágono regular

Un hexágono regular tiene ángulos internos de 120°, pero 3×120°=360° que no funcionará porque a 360° la forma se aplana.

Así que un pentágono regular es lo más lejos que podemos llegar.

Y este es el resultado:

En cada vértice Ángulo en el vértice
(Menor a 360°)
Sólido  
Coinciden 3 triángulos 180° tetraedro Tetraedro
Coinciden 4 triángulos 240° octaedro Octaedro
Coinciden 5 triángulos 300° icosaedro Icosaedro
Coinciden 3 cuadrados 270° cubo Cubo
Coinciden 3 pentágonos 324° dodecaedro Dodecaedro

Cualquier otra alternativa tiene 360° o más en un vértice, lo cual es imposible. Ejemplo: 4 pentágonos regulares (4×108° = 432°) no funcionarán. Y 3 hexágonos regulares (3×120° = 360°) tampoco funcionarán.

Y esa es la razón más simple.

Otra razón (usando topología)

Solo por diversión, veamos otra razón (un poco más complicada).

En pocas palabras: es imposible tener más de 5 sólidos platónicos, porque cualquier otra posibilidad viola reglas simples sobre el número de aristas, esquinas y caras que podemos tener juntas.

Comienza con la Fórmula de Euler ...

Fórmula de Euler

¿Conoces la Fórmula de Euler?

Dice: para cualquier poliedro convexo (lo cual incluye los Sólidos Platónicos), el Número de Caras más el Número de Vértices (puntos de las esquinas) menos el Número de Aristas siempre es igual 2

dot Se escribe: C + V − A = 2

hexaedro

Pruébala en el cubo:

Un cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas,

Por lo tanto:

6 + 8 − 12 = 2


Para ver por qué funciona, imagina tomar el cubo y agregar un borde
(de esquina a esquina de una cara).

Obtenemos una arista extra, más una cara extra:

7 + 8 − 13 = 2

cubo con arista extra
   

O intenta incluir otro vértice,
y obtenemos una arista extra:

6 + 913 = 2.

cubo con extra vértice
"No importa lo que hagamos, siempre terminamos con 2"
(Pero solo para este tipo de Poliedros ... ¡sigue leyendo!)
 

Caras que coinciden

A continuación, piensa en un típico sólido platónico. ¿Qué tipo de caras tiene y cuántas coinciden en una esquina (vértice)?

Las caras pueden ser triángulos (3 lados), cuadrados (4 lados), etc.
flecha Llamemos a esto "s", el número de lados que tiene cada cara.

Además, en cada esquina, ¿cuántas caras coinciden? Para un cubo, coinciden 3 caras en cada esquina. Para un octaedro, coinciden 4 caras en cada esquina.
flecha Llamemos a esto "m" (cuántas caras coinciden en una esquina).

(Esos dos valores son suficientes para mostrar qué tipo de sólido es)

¡Sólidos que revientan!

Ahora, imagina que separamos un sólido, cortando cada cara.

Obtenemos todas estas pequeñas formas planas. Y hay el doble de bordes (porque cortamos a lo largo de cada borde).

un cubo es separado y ahora en vez de 12 aristas, son 24

Ejemplo: el cubo cortado ahora tiene seis pequeños cuadrados.

Y cada cuadrado tiene 4 aristas, lo que hace un total de 24 aristas (en comparación a 12 aristas cuando se unen para formar un cubo).

Entonces, ¿cuántos bordes? El doble del número original de aristas "A", o simplemente 2A

Pero esto también es lo mismo que contar todos los bordes de las pequeñas formas. Hay s (número de lados por cara) por C (número de caras).

dot Esto se puede escribir como sC = 2A

 

Asimismo, cuando lo cortamos, lo que era una esquina ahora será varias esquinas.

En el caso de un cubo, hay tres veces más esquinas.

cubo se separa de un vértice

Y como ahora tenemos una colección de polígonos, hay el mismo número de esquinas que de aristas (un cuadrado tiene 4 esquinas y 4 aristas, un pentágono tiene 5 esquinas y 5 aristas, etc.)

dot Esto se puede escribir como mV = 2A

Juntando las ecuaciones

Esas son todas las ecuaciones que necesitamos, usémoslas juntas:

sC = 2A, por lo que C = 2A/s
mV = 2A,
por lo que V = 2A/m

Ahora pongámoslas en "C+V−A=2":

C + V − A = 2
2A/s + 2A/m − A = 2

A continuación, un poco de reordenamiento ... divide todo por "2A":

1/s + 1/m − 1/2 = 1/A

Ahora, "A", el número de aristas, no puede ser menor que cero, por lo que "1/A" no puede ser menor que 0:

1/s + 1/m − 1/2 > 0

O, más simplemente:

1/s + 1/m > 1/2

Entonces, todo lo que tenemos que hacer ahora es probar diferentes valores de:

¡Y terminamos!

¡Las posibilidades!

Las posibles respuestas son:

s m 1/s+1/m > 0.5 ?
3 3 0.666... sí
3 4 0.583... sí
4 3 0.583... sí
4 4 0.5 no
5 3 0.533... sí
3 5 0.533... sí
5 4 0.45 no
4 5 0.45 no
5 5 0.4 no
etc... ... ... no

Resultado: ¡Solo hay 5 que funcionan! Todos los demás simplemente no son posibles en el mundo real.

Ejemplo: s=5, m=5

1/s + 1/m − 1/2 = 1/A al sustituir nos queda:

1/5 + 1/5 − 1/2 = 1/A
−0.1 = 1/A

lo que hace que A (número de aristas) = −10, ¡y no podemos tener un número negativo de aristas!


¿Reales?

Y el último paso es ver si esos sólidos son reales:

s m Lo que significa Sólido  
3 3 3 triángulos coinciden en cada esquina tetraedro Tetraedro
3 4 4 triángulos coinciden en cada esquina octaedro Octaedro
4 3 3 cuadrados coinciden en cada esquina cubo Cubo
5 3 3 pentágonos coinciden en cada esquina dodecaedro Dodecaedro
3 5 5 triángulos coinciden en cada esquina icosaedro Icosaedro

Entonces, solo hay 5, y todos existen.

Trabajo completado.


¡Schläfli!

Y solo para mantenerte bien educado ... los valores "s" y "m" juntos entre llaves {} conforman lo que se llama el "símbolo Schläfli" para poliedros:

Ejemplos:

¿Puedes hallar los demás?