Tipos de Matrices

Primero, algunas definiciones.

Una Matriz es un arreglo de números:

Matriz 2x3
Una matriz
(Ésta tiene 2 filas y 3 columnas)

La Diagonal Principal comienza en la esquina superior izquierda y baja a la derecha:

diagonal principal de una matriz 3x3

Otro ejemplo:

diagonal principal de una matriz 2x3

Una Transpuesta es cuando intercambiamos entradas a través de la diagonal principal (las filas se convierten en columnas) de esta manera:

transpuesta de una matriz

La diagonal principal permanece igual.

 

Estos son algunos de los tipos más comunes de matriz:

Cuadrada

Una matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que las columnas.

matriz 2x2
  Una matriz cuadrada (2 filas, 2 columnas)

matriz  3x3
También una matriz cuadrada (3 filas, 3 columnas)

Matriz Identidad

Una matriz identidad tiene 1s en la diagonal principal y 0s en las demás partes:

matriz identidad
Una matriz identidad 3×3

Es el equivalente matricial del número "1", cuando multiplicamos con ella, la original no cambia:

A × I = A

I × A = A

Matriz Diagonal

Una matriz diagonal tiene cero en cualquier lugar que no esté en la diagonal principal:

matriz  diagonal
Una matriz diagonal

Matriz escalar

Una matriz escalar tiene todas las entradas diagonales principales iguales, con cero en todas las demás entradas:

matriz escalar
Una matriz escalar

Matriz Triangular

La triangular inferior es cuando todas las entradas por encima de la diagonal principal son cero:

matriz triangular inferior
Una matriz triangular inferior

La triangular superior es cuando todas las entradas debajo de la diagonal principal son cero:

matriz triangular superior
Una matriz triangular superior

Matriz Cero (Matriz Nula)

Ceros en todas partes:

matriz cero
Matriz cero

Simétrica

En una matriz simétrica, las entradas coincidentes a ambos lados de la diagonal principal son iguales, de esta manera:

matriz simétrica
Matriz simétrica

Debe ser cuadrada y es igual a su propia transpuesta.

A = AT

Hermitiana

Una matriz hermitiana es simétrica a excepción de las partes imaginarias que cambian de signo del otro lado de la diagonal:

3
2+3i
−2i
5−i
2−3i
9
12
1+4i
2i
12
1
7
5+i
1−4i
7
12

Matriz hermitiana 

¿Ves cómo +i cambia a −i y viceversa?

Cambiar el signo de la segunda parte se llama conjugar, y entonces la definición correcta es:

Una matriz hermitiana es igual a su propia transpuesta conjugada:

A = AT

Esto también significa que las entradas diagonales principales deben ser puramente reales (para ser su propio conjugado).

Lleva el nombre del matemático francés Charles Hermite.

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).