Resolver Triángulos LLL
"LLL" significa "Lado, Lado, Lado"
"LLL" es cuando conocemos tres lados del triángulo y queremos encontrar los ángulos faltantes. |
Para resolver un triángulo LLL:
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Usamos la versión "angular" de la Ley de Cosenos:
cos(C) = a2 + b2 − c2 2ab
cos(A) = b2 + c2 − a2 2bc
cos(B) = c2 + a2 − b2 2ca
(todas son la misma fórmula, solo letras diferentes)
Ejemplo 1
En este triángulo conocemos los tres lados:
- a = 8,
- b = 6 y
- c = 7.
Usa primeramente la Ley de Cosenos para encontrar uno de los ángulos. No importa cuál. Primero encontremos el ángulo A:
A continuación encontraremos otro lado. Usamos la Ley de Cosenos nuevamente, esta vez para el ángulo B:
Ahora usaremos que "los tres ángulos suman 180°" para encontrar el ángulo C:
Ahora hemos resuelto completamente el triángulo, es decir, hemos encontrado todos sus ángulos.
El triángulo puede tener letras que no sean ABC:
Ejemplo 2
Este también es un triángulo LLL.
En este triángulo conocemos los tres lados x = 5.1, y = 7.9 y z = 3.5. Usa la Ley de Cosenos para encontrar primeramente el ángulo X:
Luego usaremos la Ley de Cosenos nuevamente para encontrar el ángulo Y:
Finalmente usaremos que "los tres ángulos suman 180°" para encontrar el ángulo Z:
Otro método
Aquí hay otra forma (un poco más rápida) de resolver un triángulo LLL:
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¿El ángulo más grande?
¿Por qué tratamos de encontrar el ángulo más grande primero? De esa manera, los otros dos ángulos deben ser agudos (menos de 90°) y la Ley de Senos dará respuestas correctas.
La Ley de Senos es difícil de usar con ángulos mayores de 90°. Puede haber dos respuestas a cada lado de 90° (ejemplo: 95° y 85°), pero una calculadora solo dará la respuesta más pequeña.
Entonces, al calcular el ángulo más grande primero usando la Ley de Cosenos, los otros ángulos son menores de 90° y la Ley de Senos se puede usar en cualquiera de ellos sin dificultad.
Ejemplo 3
B es el ángulo más grande, así que primero encontraremos B usando la Ley de Cosenos:
Usa la Ley de los Senos, sinC / c = sinB / b, para encontrar el
ángulo A:
Usa que "los tres ángulos suman 180°" para encontrar el ángulo A:
Así que A = 47.7°, B = 104.1°, y C = 28.2°
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).