Resolviendo Sistemas de Ecuaciones Lineales y Cuadráticos Gráficamente
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Una Ecuación Lineal es la ecuación de una línea. |
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Una Ecuación Cuadrática
es la ecuación de una parábola
y tiene al menos una variable al cuadrado (como x2) |
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Y juntas forman un Sistema de una ecuación lineal y cuadrática |
Un Sistema de esas dos ecuaciones se puede resolver (encuentra dónde se cruzan), ya sea:
- Usando Álgebra
- o Gráficamente, ¡como veremos a continuación!
Cómo resolver gráficamente
¡Fácil! ¡Traza ambas ecuaciones y mira dónde se cruzan!
Trazando las ecuaciones
Podemos trazarlas manualmente o usar una herramienta como el Graficador de Funciones.
Para trazarlas manualmente:- asegúrate de que ambas ecuaciones estén en forma "y ="
- elige algunos valores de x que con suerte estarán cerca de donde se cruzan las dos ecuaciones
- calcula los valores de y para esos valores de x
- ¡traza los puntos y observa!
Elegir dónde trazar
¿Pero qué valores debemos trazar? ¡Conocer el centro ayudará!
Si consideramos la fórmula cuadrática e ignoramos lo que está después del ±, tendremos un valor central de x:
Luego elige algunos valores de x a cada lado y calcula los valores de y, así:
Ejemplo: resuelve estas dos ecuaciones gráficamente a 1 decimal:
- y = x2 − 4x + 5
- y = x + 2
Encuentra un valor central de x:
La ecuación cuadrática es y = x2 − 4x + 5, así que a = 1, b = −4 y c = 5
| valor central de x = | −b | = | −(−4) | = | 4 | = 2 |
| 2a | 2×1 | 2 |
Ahora calcula valores alrededor de x = 2
x |
Cuadrática x2 − 4x + 5 |
Lineal x + 2 |
|---|---|---|
| 0 | 5 | 2 |
| 1 | 2 | |
| 2 | 1 | |
| 3 | 2 | |
| 4 | 5 | |
| 5 | 10 | 7 |
(Solo calculamos la primera y la última ecuación lineal, ya que eso es todo lo que necesitamos para la gráfica).
Ahora a graficar:
Podemos ver que se cruzan en aproximadamente x = 0.7 y aproximadamente x = 4.3
Hagamos los cálculos para esos valores:
x |
Cuadrática x2 − 4x + 5 |
Lineal x + 2 |
|---|---|---|
| 0.7 | 2.69 | 2.8 |
| 4.3 | 6.29 | 6.2 |
Sí, están cerca.
Redondeando a 1 decimal los dos puntos son (0.7, 2.8) y (4.3, 6.2)
¡Puede que no haya 2 soluciones!
Hay tres casos posibles:- Ninguna solución real (sucede cuando nunca se cruzan)
- Una solución real (cuando la línea recta solo toca la cuadrática)
- Dos soluciones reales (como el ejemplo anterior)
¡Hora de otro ejemplo!
Ejemplo: resuelve estas dos ecuaciones gráficamente:
- 4y − 8x = −40
- y − x2 = −9x + 21
¿Cómo las graficamos? ¡No están en formato "y ="!
Primero pon ambas ecuaciones en formato "y =":
La ecuación lineal es: 4y − 8x = −40
La cuadrática es: y − x2 = −9x + 21
Ahora encuentra el valor central de x:
La cuadrática es y = x2 − 9x + 21, por lo que a = 1, b = −9 y c = 21
| x central = | −b | = | −(−9) | = | 9 | = 4.5 |
| 2a | 2×1 | 2 |
Ahora calcule valores alrededor de x = 4.5
x |
Cuadrática x2 − 9x + 21 |
Lineal 2x − 10 |
|---|---|---|
| 3 | 3 | -4 |
| 4 | 1 | |
| 4.5 | 0.75 | |
| 5 | 1 | |
| 6 | 3 | |
| 7 | 7 | 4 |
Ahora graficamos
¡Nunca se cruzan! No hay solución.
Ejemplo del mundo real
¡BUM!
La bala de cañón vuela por el aire, siguiendo una parábola: y = 2 + 0.12x - 0.002x2
La tierra tiene una pendiente hacia arriba: y = 0.15x
¿Dónde aterriza la bala de cañón?
¡Disparemos el Graficador de Funciones!
Pon 2 + 0.12x - 0.002x^2 para una
función y 0.15x para la otra.
Aleja, luego acerca (zoom) donde se cruzan. Deberías obtener
algo como esto:
Al acercarnos lo suficiente podemos encontrar que se cruzan en (25, 3.75)
Círculo y línea
Ejemplo: Encuentra los puntos de intersección redondeando a 1 decimal de:
- El círculo x2 + y2 = 25
- y la recta 3y - 2x = 6
El círculo
La "forma estándar" para la ecuación del círculo es (x-a)2 + (y-b)2 = r2
Donde (a, b) es el centro del círculo y r es el radio.
Para x2 + y2 = 25 podemos ver que
- a=0 y b=0 así que el centro está en (0, 0),
- y para el radio r2 = 25 , por lo que r = √25 = 5
No necesitamos hacer la ecuación circular en forma "y =", ya que tenemos suficiente información para trazar el círculo ahora.
La recta
Primero pon la línea en formato "y =":
Para trazar la línea, elige dos puntos a cada lado del círculo:
- en x = −6, y = (2/3)(−6) + 2 = −2
- en x = 6, y = (2/3)(6) + 2 = 6
¡Ahora grafiquemos!
Ahora podemos ver que se cruzan en aproximadamente (-4.8, -1.2) y (3.0, 4.0)
Para una solución exacta mira Sistemas de Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
