Demostración de las Derivadas Sen, Cos, Tan

Las tres derivadas más útiles en trigonometría son:

ddx sen(x) = cos(x)

ddx cos(x) = −sen(x)

ddx tan(x) = sec²(x)

¿Simplemente cayeron del cielo? ¿Podemos demostrarlas de alguna manera?

Demostración de la derivada de Seno

Necesitamos regresar de vuelta a los primeros principios, la fórmula básica de las derivadas:

dydx = limΔx→0 f(x+Δx)−f(x)Δx

Veamos sen(x):

ddxsen(x) = limΔx→0 sen(x+Δx)−sen(x)Δx

También podemos usar esta identidad trigonométrica: sen(A+B) = sen(A)cos(B) + cos(A)sen(B) para obtener:

limΔx→0 sen(x)cos(Δx) + cos(x)sen(Δx) − sen(x)Δx

Reagrupamos:

limΔx→0 sen(x)(cos(Δx)−1) + cos(x)sen(Δx)Δx

Separamos en dos límites:

limΔx→0 sen(x)(cos(Δx)−1)Δx + limΔx→0cos(x)sen(Δx)Δx

Y podemos pasar sen(x) y cos(x) fuera de los límites porque son funciones de x, no de Δx

sen(x) limΔx→0 cos(Δx)−1Δx + cos(x) limΔx→0 sen(Δx)Δx

 

Ahora todo lo que tenemos que hacer es evaluar esos dos pequeños límites. Fácil, ¿verdad? Ya veremos...

Límite de sen(θ)θ

Empezamos con

limθ→0 sen(θ)θ

Y con la ayuda de un poco de geometría:

Podemos observar y comparar las áreas:

Área del triángulo AOB < Área del sector AOB < Área del triángulo AOC

12r² sen(θ) < 12r² θ < 12r² tan(θ)

Dividimos todos los términos por 12r² sen(θ)

1 < θsen(θ) < 1cos(θ)

Tomemos los recíprocos

1 > sen(θ)θ > cos(θ)

Ahora, a medida que θ→0 tenemos que cos(θ)→1

Por lo tanto, sen(θ)θ  se encuentra entre 1 y algo que tiende a 1

Entonces, a medida que θ→0 tenemos que sen(θ)θ →1, por lo tanto:

limθ→0 sen(θ)θ = 1

(Nota: también deberíamos probar que esto es cierto desde el lado negativo, ¿qué tal si lo intentas con valores negativos de θ?)

Límite de cos(θ)−1θ

Así que a continuación queremos calcular este límite:

limθ→0 cos(θ)−1θ

Cuando multiplicamos arriba y abajo por cos(θ) +1 obtenemos:

(cos(θ)−1)(cos(θ)+1)θ(cos(θ)+1) = cos²(θ)−1θ(cos(θ)+1)

Ahora usemos esta identidad trigonométrica basada en el Teorema de Pitágoras:

cos²(x) + sin²(x) = 1

Reacomodamos para tener esta forma:

cos²(x) − 1 = −sin²(x)

Y el límite con el que comenzamos puede convertirse en:

limθ→0 −sin²(θ)θ(cos(θ)+1)

¡Eso se ve peor! Pero es realmente mejor porque podemos convertirlo en dos límites separados que se multiplican entre sí:

limθ→0sen(θ)θ × limθ→0−sen(θ)cos(θ)+1

Conocemos el primer límite (lo resolvimos arriba), y el segundo límite no necesita mucho trabajo porque en θ=0 sabemos directamente que −sen(0)cos(0)+1 = 0, de modo que:

limθ→0sen(θ)θ × limθ→0−sen(θ)cos(θ)+1 = 1 × 0 = 0

Juntando todo

Recordemos, ¿qué estábamos tratando de hacer? Oh, es cierto, realmente queríamos resolver esto:

ddxsen(x) = sen(x) limΔx→0 cos(Δx)−1Δx + cos(x) limΔx→0 sen(Δx)Δx

Ahora podemos poner los valores que acabamos de calcular y obtener:

ddxsen(x) = sen(x) × 0 + cos(x) × 1

Y listo (¡al fin!):

ddxsen(x) = cos(x)

La derivada de Coseno

¡Ahora pasemos al coseno!

ddxcos(x) = limΔx→0 cos(x+Δx)−cos(x)Δx

Esta vez usaremos la identidad de suma de ángulo cos(A+B) = cos(A)cos(B) − sen(A)sen(B):

limΔx→0 cos(x)cos(Δx) − sen(x)sen(Δx) − cos(x)Δx

Reacomodamos:

limΔx→0 cos(x)(cos(Δx)−1) − sen(x)sen(Δx)Δx

Separamos en dos límites:

limΔx→0 cos(x)(cos(Δx)−1)Δx − limΔx→0sen(x)sen(Δx)Δx

Podemos mover cos(x) y sen(x) fuera de los límites porque son funciones de x, no de Δx

cos(x) limΔx→0 cos(Δx)−1Δx − sen(x) limΔx→0 sen(Δx)Δx

Y usando nuestro conocimiento de lo de arriba:

ddx cos(x) = cos(x) × 0 − sen(x) × 1

Entonces:

ddx cos(x) = −sen(x)

La derivada de Tangente

Para encontrar la derivada de tan(x) podemos usar esta identidad:

tan(x) = sen(x)cos(x)

Empezamos con:

ddxtan(x) = ddx(sen(x)cos(x))

Y nos queda:

ddxtan(x) = cos(x) × cos(x) − sen(x) × −sen(x)cos²(x)

ddxtan(x) = cos²(x) + sin²(x)cos²(x)

Luego se usa esta identidad:

cos²(x) + sin²(x) = 1

Para obtener:

ddxtan(x) =1cos²(x)

¡Listo!

Pero a la mayoría de la gente le gusta usar el hecho de que cos = 1sec para que quede así:

ddxtan(x) = sec²(x)

Nota: también podemos hacer esto:

ddxtan(x) = cos²(x) + sin²(x)cos²(x)

ddxtan(x) = 1 + sin²(x)cos²(x) = 1 + tan²(x)

(Y, sí, 1 + tan²(x) = sec²(x), lee Hexágono Mágico)

 

Serie de Taylor

Solo como una nota al margen, podemos usar las expansiones de la Serie de Taylor y derivar término a término

Pero esto es "razonamiento circular" porque la expansión original de la serie de Taylor ya usa las reglas "la derivada de sen(x) es cos(x)" y "la derivada de cos(x) es −sen(x)".