Sólidos de Revolución Mediante Discos
Podemos tener una función, como esta:
Y hacerla girar alrededor del eje x, así:
Para encontrar su volumen podemos sumar una serie de rebanadas en forma de discos:
La cara de cada disco es un círculo:
El área de un círculo es π por radio al cuadrado:
A = π r2
Y el radio r es el valor de la función en ese punto f(x), por lo tanto:
A = π f(x)2
Y el volumen se encuentra sumando todos esos discos usando integración:
Y esa es nuestra fórmula para sólidos de revolución mediante discos
En otras palabras, para encontrar el volumen de revolución de una función f(x): integra pi multiplicado por el cuadrado de la función.
Ejemplo: Un Cono
Considera la función simple y=x entre 0 y b
Gírala alrededor del eje x ... ¡y tenemos un cono!
El radio de cualquier disco es el valor de la función f(x), que en nuestro caso es simplemente x
¿Cuál es su volumen? Integra pi multiplicado por el cuadrado de la función x:
Primero saquemos pi.
Recuerda que está permitido mover una constante fuera de la integral:
Al usar las Reglas de Integración encontramos que la integral de x2 es x3/3 + C
Para calcular esta integral definida, calculamos el valor de esa función para b y para 0 y restamos, así:
Volumen = π (b3/3 − 03/3)
= π b3/3
Volumen = 1 3 π r2 h
Cuando ambos r=b y h=b se tiene:
Volumen = 1 3 π b3
Como reto interesante, ¿por qué no tratas de resolver tú mismo el caso más general para cualquier valor de r y h?
También podemos rotar sobre otras líneas, como x = −1
Ejemplo: Nuestro cono, pero girado sobre x = −1
Entonces ahora tenemos esto:
Rotado alrededor de x = −1 se ve así:
El cono ahora es más grande pero tiene su extremo afilado cortado (es un cono truncado).
Dibujemos un disco de muestra para que podamos averiguar qué hacer:
OKAY. Ahora bien, ¿cuál es el radio? Es nuestra función y = x más un 1 adicional:
y = x + 1
Luego integra pi por el cuadrado de esa función:
Pi afuera y desarrolla (x+1)2, que es x2+2x+1 :
Al usar las Reglas de Integración encontramos que la integral de x2+2x+1 es x3/3 + x2 + x + C
Al ir de 0 y b se tiene:
Volumen = π (b3/3+b2+b − (03/3+02+0))
= π (b3/3+b2+b)
Ahora con otro tipo de función:
Ejemplo: Una función cuadrática
Considera y = x2 entre x=0.6 y x=1.6
Gírala alrededor del eje x
¿Cuál es su volumen? Integra pi multiplicado por el cuadrado de la función x2:
Simplifica al mover pi afuera, y también (x2)2 = x4 :
La integral de x4 es x5/5 + C
Al evaluar entre 0.6 y 1.6 se tiene:
Volumen = π ( 1.65/5 − 0.65/5 )
≈ 6.54
¿Puedes girar y = x2 alrededor de x = −1 ?
En resumen:
- Mueve pi afuera
- Integra la función elevada al cuadrada
- Resta el extremo inferior del extremo superior
Alrededor del eje Y
También podemos rotar sobre el eje Y:
Ejemplo: Una función cuadrática
Considera y=x2, pero esta vez en el eje y entre y=0.4 y y=1.4
Gírala alrededor del eje Y
¡Y ahora queremos integrar en la dirección y!
Entonces queremos algo como x = g(y) en lugar de y =
f(x). En este caso es:
x = √(y)
Ahora integra pi por el cuadrado de √(y)2 (y dx ahora es dy):
Simplifica al mover pi afuera. También simplifica √(y)2 = y :
La integral de y es y2/2
Y por último, evaluando entre 0.4 y 1.4 obtenemos:
Volumen = π ( 1.42/2 − 0.42/2 )
≈ 2.83...
Método de los discos con agujero central
Discos con agujero central
¿Y si queremos el volumen entre dos funciones?
Nota: los discos con agujero central son conocidos con diversos nombres en los países de habla hispana: arandelas, guachas, guasas y golillas son algunas maneras de llamarles.
Ejemplo: El volumen entre las funciones y=x y y=x3 de x=0 a 1
Estas son las funciones:
Giradas alrededor del eje X:
Los discos ahora tienen un agujero central:
Y tienen el área de una corona circular:
En nuestro caso R = x y r = x3
En efecto, esto es lo mismo que el método de los discos,
excepto que restamos un disco de otro.
Y entonces nuestra integración tiene esta forma:
Mueve pi afuera (en ambas funciones) y simplifica (x3)2 = x6:
La integral de x2 es x3/3 y la integral de x6 es x7/7
Entonces, al evaluar entre 0 y 1 se obtiene:
Volumen = π [ (13/3 − 17/7 ) − (0−0) ]
≈ 0.598...
Entonces, el método de los discos con agujero central es como el método de los discos, pero restando un disco interno de uno externo.