Perímetro de la Elipse

En la página sobre la Elipse vimos la definición y algunas de las propiedades simples de la elipse, y aquí veremos cómo calcular con mayor precisión su perímetro.

Perímetro

Curiosamente, ¡el perímetro de una elipse es muy difícil de calcular!

Hay muchas fórmulas, aquí hay algunas interesantes. (Mira también la calculadora más abajo).

¡Primero mide tu elipse!

elipse ejes mayor y menor

a y b se miden desde el centro, por lo que son como medidas parecidas a un "radio".

 

Aproximación 1

Esta aproximación está dentro de aproximadamente el 5% del valor real, siempre que a no sea más de 3 veces más grande que b (en otras palabras, que la elipse no esté demasiado "aplastada"):

perímetro de elipse aprox 2pi sqrt ((a^2 + b^2)/2)

Aproximación 2

Al famoso matemático indio Ramanujan se le ocurrió esta mejor aproximación:

elipse perímetro aprox pi [3 (a + b) - sqrt ((3a + b) (a + 3b))]

Aproximación 3

Ramanujan también se le ocurrió esta. Primero calculamos "h":

h = (a-b)^2/(a+b)^2

Y luego la usamos aquí:

elipse perímetro aprox pi (a + b) (1 + 3h / (10 + sqrt (4-3h)))

Serie infinita 1

Esta es una fórmula exacta, pero necesita una "serie infinita" de cálculos para ser exactos, por lo que en la práctica solo obtenemos una aproximación.

Primero calculamos e (la "excentricidad", no el Número de Euler "e"):

fórmula de excentricidad: e = sqrt(a^2-b^2)/a

Luego se usa esta fórmula de "suma infinita":

elipse perímetro aproximadamente 2a pi [1 - sigma i = 1 hasta el infinito de ((2i)! ^ 2 / (i! 2 ^ i) ^ 4 veces e ^ 21 / (2i-1))]

La cual puede parecer complicada, pero se expande así:

elipse perímetro aprox 2a pi [1 - (1/2) ^ 2 e ^ 2 - (1x3 / 2x4) ^ 2 e ^ 4/3 - (1x3x5 / 2x4x6) ^ 2 e ^ 6/5 - ...]

Los términos continúan infinitamente y, desafortunadamente, debemos calcular muchos términos para obtener una respuesta razonablemente cercana.

Serie infinita 2

Pero mi fórmula exacta favorita (porque da una respuesta muy cercana después de solo unos pocos términos) es la siguiente:

Primero calculamos "h":

h = (a-b)^2/(a+b)^2

Luego usamos esta fórmula de "suma infinita":

elipse perímetro aprox pi (a + b) sigma n = 0 a infinito de (0.5 elige n) ^ 2 h ^ n

(Nota: el combinaciones 0.5 en n es el Coeficiente Binomial con factoriales de medios enteros ... ¡Wow!)

Puede parecer un poco aterradora, pero se expande a esta serie de cálculos:

elipse perímetro aprox pi (a + b) (1 + (1/4) h + (1/64) h ^ 2 + (1/256) h ^ 3 + ...)

Cuantos más términos calculemos, más preciso será (el siguiente término es 25h4/16384, y cada vez se vuelve más pequeño, el siguiente es 49h5/65536, luego 441h6/1048576, etc.).

La fórmula perfecta

Hay una fórmula perfecta usando una integral:

p = 4a
π2
0
√(1 − e2 sin2 θ) dθ
Pero calcularla necesita una cantidad infinita de términos ("Serie infinita 1" de arriba).

Comparar

Solo por diversión, calculé el perímetro usando las tres fórmulas de aproximación, y las dos fórmulas exactas (pero solo los primeros cuatro términos incluyendo el "1", por lo que siguen siendo solo una aproximación) para los siguientes valores de a y b:


   Círculo


Líneas
    elipse 10 10 elipse 10 5 elipse 10 3 elipse 10 1 elipse 10 0
a:   10 10 10 10 10
b:   10 5 3 1 0
Aprox 1:   62.832 49.673 46.385 44.65 44.429
Aprox 2:   62.832 48.442 43.857 40.606 39.834
Aprox 3:   62.832 48.442 43.859 40.639 39.984
Serie 1:   62.832 48.876 45.174 43.204 42.951
Serie 2:   62.832 48.442 43.859 40.623 39.884
Exacto*:   20π


40


*Exacto:

Todas obtienen correctamente el perímetro del círculo, pero solo Aprox 2 y 3 y la Serie 2 se acercan al valor de 40 para el caso extremo de b=0.

Calculadora de perímetro de elipse

Esta herramienta hace los cálculos de arriba, pero con más términos para cada serie.

 

Elipse Geometría