Perímetro de la Elipse
En la página sobre la Elipse vimos la definición y algunas de las propiedades simples de la elipse, y aquí veremos cómo calcular con mayor precisión su perímetro.
Perímetro
Curiosamente, ¡el perímetro de una elipse es muy difícil de
calcular!
Hay muchas fórmulas, aquí hay algunas interesantes. (Mira también la
calculadora más abajo).
¡Primero mide tu elipse!
a y b se miden desde el centro, por lo que son como medidas parecidas a un "radio".
Aproximación 1
Esta aproximación está dentro de aproximadamente el 5% del valor real, siempre que a no sea más de 3 veces más grande que b (en otras palabras, que la elipse no esté demasiado "aplastada"):
Aproximación 2
Al famoso matemático indio Ramanujan se le ocurrió esta mejor aproximación:
Aproximación 3
Ramanujan también se le ocurrió esta. Primero calculamos "h":
Y luego la usamos aquí:
Serie infinita 1
Esta es una fórmula exacta, pero necesita una "serie
infinita" de cálculos para ser exactos, por lo que en la práctica solo
obtenemos una aproximación.
Primero calculamos e (la "excentricidad",
no el Número de Euler
"e"):
Luego se usa esta fórmula de "suma infinita":
La cual puede parecer complicada, pero se expande así:
Los términos continúan infinitamente y, desafortunadamente, debemos calcular muchos términos para obtener una respuesta razonablemente cercana.
Serie infinita 2
Pero mi fórmula exacta favorita (porque da una respuesta muy cercana después de solo unos pocos términos) es la siguiente:Primero calculamos "h":
Luego usamos esta fórmula de "suma infinita":
(Nota: el es el Coeficiente Binomial con factoriales de medios enteros ... ¡Wow!)
Puede parecer un poco aterradora, pero se expande a esta serie de cálculos:
Cuantos más términos calculemos, más preciso será (el siguiente término es 25h4/16384, y cada vez se vuelve más pequeño, el siguiente es 49h5/65536, luego 441h6/1048576, etc.).
La fórmula perfecta
Hay una fórmula perfecta usando una integral:
Comparar
Solo por diversión, calculé el perímetro usando las tres fórmulas de aproximación, y las dos fórmulas exactas (pero solo los primeros cuatro términos incluyendo el "1", por lo que siguen siendo solo una aproximación) para los siguientes valores de a y b:
Círculo | Líneas | |||||
a: | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | |
b: | 10 | 5 | 3 | 1 | 0 | |
Aprox 1: | 62.832 | 49.673 | 46.385 | 44.65 | 44.429 | |
Aprox 2: | 62.832 | 48.442 | 43.857 | 40.606 | 39.834 | |
Aprox 3: | 62.832 | 48.442 | 43.859 | 40.639 | 39.984 | |
Serie 1: | 62.832 | 48.876 | 45.174 | 43.204 | 42.951 | |
Serie 2: | 62.832 | 48.442 | 43.859 | 40.623 | 39.884 | |
Exacto*: | 20π | 40 |
*Exacto:
- Cuando a=b, la elipse es un círculo y el perímetro es 2πa (62.832... en nuestro ejemplo).
- Cuando b=0 (la forma son realmente dos líneas hacia adelante y hacia atrás) el perímetro es 4a (40 en nuestro ejemplo).
Todas obtienen correctamente el perímetro del círculo, pero solo Aprox 2 y 3 y la Serie 2 se acercan al valor de 40 para el caso extremo de b=0.
Calculadora de perímetro de elipse
Esta herramienta hace los cálculos de arriba, pero con más términos para cada serie.