Hipérbola

¿Sabías que la órbita de una nave espacial a veces puede ser una hipérbola?

Una nave espacial puede usar la gravedad de un planeta para alterar su trayectoria y propulsarse a gran velocidad lejos del planeta y regresar al espacio utilizando una técnica llamada "asistencia gravitatoria" o "efecto honda".

Si esto sucede, entonces la trayectoria de la nave espacial es una hipérbola.

(Juega con esto en Simulador de Gravedad)

Definición

Una hipérbola son dos curvas que parecen arcos infinitos.

Mirando solo una de las curvas:

cualquier punto P está más cerca a F que a G por una cantidad constante

La otra curva es una imagen espejo y está más cerca de G que de F.

En otras palabras, la distancia de P a F es siempre menor que la distancia de P a G por una cantidad constante. (Y para la otra curva P a G siempre es menor que P a F por esa misma cantidad constante).

Cada arco se llama rama y F y G se llaman focos.

Pruébalo tú mismo:

Intenta mover el punto P: ¿qué notas sobre las longitudes PF y PG ?

También intenta poner el punto P en la otra rama.

También hay otras cosas interesantes:

En el diagrama puedes ver:

• un eje de simetría (que pasa por cada foco)
• dos vértices (donde cada curva hace su giro más agudo)
• la distancia entre los vértices (2a en el diagrama) es la diferencia constante entre las longitudes PF y PG
• dos asíntotas que no forman parte de la hipérbola pero que muestran hacia dónde iría la curva si continuara indefinidamente en cada una de las cuatro direcciones

Y, siendo rigurosos, también hay otro eje de simetría que desciende por la mitad y separa las dos ramas de la hipérbola.

Sección cónica También puedes obtener una hipérbola cuando cortas un cono doble. El corte debe ser más inclinado que el de una parábola, pero no tiene que ser paralelo al eje del cono para que la hipérbola sea simétrica. De modo que la hipérbola es una sección cónica (una sección de un cono).

Ecuación

Al colocar la hipérbola en el plano x-y (centrada sobre el eje x y el eje y), la ecuación de la curva es:

x²a² − y²b² = 1

También:

Un vértice se ubica en (a, 0), y el otro en (−a, 0)

Las asíntotas son las líneas rectas:

• y = (b/a)x
• y = −(b/a)x

(Nota: la ecuación es similar a la ecuación del elipse: x²/a² + y²/b² = 1, excepto por un signo "−" en lugar de "+")

Excentricidad

Cualquier rama de una hipérbola también se puede definir como una curva donde las distancias de cualquier punto hacia:

• un punto fijo (el foco), y
• una línea recta fija (la directriz)

están siempre en la misma proporción.

Esta proporción se llama excentricidad, y para una hipérbola siempre es mayor que 1.

La excentricidad (generalmente mostrada como la letra e) muestra cuán "no curva" (en relación a cuánto varía de ser un círculo) es la hipérbola.

En este diagrama:

• P es un punto en la curva,
• F es el foco y
• N es el punto en la directriz de modo que PN es perpendicular a la directriz.

La excentricidad es la relación PF/PN y tiene la fórmula:

e = √(a²+b²)a

Usando "a" y "b" del diagrama de arriba.

Latus Rectum

El Latus Rectum es la línea que pasa por el foco y es paralela a la directriz. La longitud del Latus Rectum es 2b2/a.

1/x

¡La función recíproca y = 1/x es una hipérbola!

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).