Actividad: La aguja de Buffon
Cómo estimar Pi soltando un cerillo.
Hace unos cientos de años, a la gente le gustaba apostar arrojando monedas al suelo: ¿la moneda cruzaría una línea o no?
Un hombre (Georges-Louis Leclerc, el conde de Buffon) empezó a pensar en esto y calculó la probabilidad.
Se llama "Aguja de Buffon" en su honor.
¡Ahora es tu turno de probar!
Necesitarás:
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Un cerillo (o fósforo), con la cabeza cortada. (¡Puedes usar una aguja, pero ten cuidado!) |
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Una hoja de papel con líneas separadas por 50 mm. |
Pasos
- Mide la separación de tus líneas (puede que no se imprima exactamente a 50 mm): ____ mm
- Mide la longitud de tu cerillo (debe ser menor que la separación entre líneas): ____ mm
- Asegúrate de que tu hoja de papel esté sobre una superficie plana, como una mesa o el piso
- Desde una altura de unos 5 cm, deja caer el cerillo sobre el papel y registra si cae:
A: Sin tocar una línea
B: Tocando o cruzando una línea
La altura exacta desde la que dejas caer el cerillo no es importante, ¡pero no lo sueltes tan cerca del papel que hagas trampa!
Si el cerillo rueda completamente fuera del papel, no cuentes ese turno.
Mantenlo corto: Asegúrate de que tu cerillo sea más corto que la separación entre líneas. De no ser así, podría cruzar dos líneas al mismo tiempo, ¡y esta fórmula no funcionará!
100 veces
Ahora soltaremos el cerillo 100 veces, pero primero ...
... ¿qué porcentaje crees que caerá en A, o en B?
Haz una suposición (estimación) antes de comenzar el experimento:
| Tu estimación para "A" (%): | |
| Tu estimación para "B" (%): |
Bien, comencemos.
Suelta el cerillo 100 veces y registra A (no toca una línea) o B (toca o cruza una línea) usando marcas de conteo:
| El cerillo cae | Conteo | Frecuencia | Porcentaje |
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A (no toca) |
|||
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B (cruza) |
|||
| Totales: | 100 | 100% |
Ahora dibuja una gráfica de barras para ilustrar tus resultados.
Puedes crear una en Gráficos de datos (barras, líneas y sectores):
- ¿Tienen las barras la misma altura?
- ¿Esperabas que la tuvieran?
- ¿Cómo se compara el resultado con tu estimación?
Ahora estimemos Pi
Buffon usó los resultados de su experimento con una aguja para estimar el valor de π (Pi). Desarrolló esta fórmula:
π ≈ 2Lxp
Donde
- L es la longitud de la aguja (o cerillo en nuestro caso)
- x es la separación entre líneas (50 mm para nosotros)
- p es la proporción de agujas que cruzan una línea (caso B)
¡Nosotros también podemos hacerlo!
Ejemplo: Sam tenía un cerillo de 31 mm de longitud, una separación entre líneas de 40 mm y 49 de 100 lanzamientos cruzaron la línea
Entonces Sam tenía:
- L = 31
- x = 40
- p = 49/100 = 0.49
Sustituyendo estos valores en la fórmula, Sam obtuvo:
π ≈ 2 × 3140 × 0.49 ≈ 3.16
Ahora es tu turno. Llena la siguiente tabla usando tus propios resultados:
| Longitud del cerillo "L" (mm): | |
| Separación entre líneas "x" (mm): | |
| p (la proporción de cerillos que cruzan una línea): |
Y haz el cálculo:
π ≈ 2Lxp ≈ 2 × __________ × _____ ≈ _____
¿Lo hiciste mejor?
No será exacto (porque es un proceso aleatorio), pero puede estar cerca.
Despejar la variable (cambiar el sujeto)
La siguiente parte de esta actividad es despejar la variable de la fórmula para calcular el valor teórico de p (la proporción de veces que el cerillo cruza la línea):
Y obtenemos:
p ≈ 2Lπx
Ejemplo: Alex tenía un cerillo de 36 mm de longitud y una separación entre líneas de 50 mm.
Entonces Alex tenía:
- L = 36
- x = 50
Sustituyendo estos valores en la fórmula, Alex obtuvo:
p ≈ 2 × 36π × 50 ≈ 0.46...
Así que Alex debería esperar que el cerillo cruce la línea (caso B) unas 46 veces de cada 100
Llena la siguiente tabla con tus propios resultados:
| Longitud del cerillo "L" (mm): | |
| Separación entre líneas "x" (mm): | |
| Estimación para p (≈ 2L/πx): |
¿Qué tan cerca estuviste?
Diferente tamaño de cerillo
Intenta repetir el experimento usando un cerillo de diferente tamaño (¡pero no más largo que la separación entre líneas!)
- ¿Obtuviste mejores o peores resultados?
Lo que has hecho
Te has divertido (con suerte) realizando un experimento.
Has tenido experiencia con los cálculos.
Y has visto la relación entre la teoría y la realidad.