Resolviendo Desigualdades Racionales
Racional
Las Expresiones Racionales se ven más o menos así:
Desigualdades
A veces necesitamos resolver desigualdades racionales, como éstas:
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Símbolo
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Significado
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Ejemplo
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||
|---|---|---|---|---|
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>
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mayor que
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(x+1)/(3−x) > 2
|
||
|
<
|
menor que
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x/(x+7) < −3
|
||
|
≥
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mayor o igual que
|
(x−1)/(5−x) ≥ 0
|
||
|
≤
|
menor o igual que
|
(3−2x)/(x−1) ≤ 2
|
||
Resolviendo
Resolver desigualdades es muy parecido a resolver ecuaciones ... hacemos la mayoría de las mismas cosas.
| Al resolver ecuaciones tratamos
de encontrar puntos, "como los señalados "=0" |
 |
| Pero cuando resolvemos desigualdades,
tratamos de encontrar intervalo (o intervalos), tales como los señalados como ">0" ó "<0" |
Entonces esto es lo que hay que hacer:
- encuentra los "puntos de interés"
- los puntos "=0" (raíces), y
- "asíntotas verticales" (donde la función no está definida)
- entre los "puntos de interés", hay intervalos que son
- mayores que cero (> 0), o
- menores que cero (<0)
- luego elige un valor de prueba para averiguar cuál es (>0 ó <0)
Aquí hay un ejemplo:
Ejemplo: 3x−10x−4 > 2
Primero, ¡vamos a simplificar!
Pero no puedes multiplicar por (x−4)
Porque "x−4" podría ser positivo o negativo ... no sabemos si debemos cambiar la dirección de la desigualdad o no. Todo esto se explica en Resolviendo Desigualdades.
En cambio, trae el "2" a la izquierda:
3x−10x−4 − 2 > 0
Ahora multiplica el 2 por (x−4)/(x−4):
3x−10x−4 − 2x−4x−4 > 0
Ahora tenemos un denominador común, unámoslo todo:
3x−10 − 2(x−4)x−4 > 0
Simplifica:
x−2x−4 > 0
Segundo, busquemos "puntos de interés".
En x=2 tenemos: (0)/(x−4) > 0, que es un punto "=0", o raíz
En x=4 tenemos: (x−2)/(0) > 0, que es indefinido
Tercero, evalúa puntos de prueba para ver qué pasa en medio:
En x=0:
- x−2 = −2, que es negativo
- x−2 = −2, que también es negativo
- De modo que (x−2)/(x−4) debe ser positivo
Podemos hacer lo mismo para x=3 y x=5, y terminar con estos resultados:
| x=0 | x=2 | x=3 | x=4 | x=5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| x−2 < 0 | x−2 > 0 | x−2 > 0 | |||
| x−4 < 0 | x−4 < 0 | x−4 > 0 | |||
| (x−2)/(x−4) es | > 0 | 0 | < 0 | indefinido | > 0 |
¡Eso nos da una imagen completa!
¿Y dónde es > 0 ?
- Menor a 2
- Mayor a 4
Entonces nuestro resultado es:
(−∞, 2) U (4, +∞)
¡Hicimos todo eso sin dibujar una gráfica!
Pero aquí está la gráfica de (x−2)/(x−4) para que puedas ver:
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
