Cómo resolver desigualdades racionales
Racional
Una expresión racional se ve así:
Desigualdades
A veces necesitamos resolver desigualdades racionales como estas:
| Símbolo | En palabras | Ejemplo |
|---|---|---|
| > | mayor que | (x+1)/(3−x) > 2 |
| < | menor que | x/(x+7) < −3 |
| ≥ | mayor o igual que | (x−1)/(5−x) ≥ 0 |
| ≤ | menor o igual que | (3−2x)/(x−1) ≤ 2 |
Cómo resolverlas
Resolver desigualdades es muy parecido a resolver ecuaciones... hacemos casi lo mismo.
 |
| Cuando resolvemos desigualdades tratamos de encontrar intervalo(s), como los marcados como "<0" o ">0" |
Estos son los pasos:
- 1. Simplifica la desigualdad de modo que un lado sea 0 (por ejemplo, f(x) > 0 o f(x) < 0)
- 2. Encuentra los puntos clave:
- los puntos "=0" (raíces), y
- donde la función no está definida (asíntotas verticales)
- 3. Entre los puntos clave, la función es mayor que cero (>0) o menor que cero (<0)
- elige un valor de prueba de cada intervalo para ver si es >0 o <0
Aquí tienes un ejemplo:
Ejemplo: 3x−10x−4 > 2
1, ¡vamos a simplificar!
Pero no podemos simplemente multiplicar ambos lados por (x − 4).
¿Por qué? Porque si (x − 4) es negativo, tendríamos que cambiar el sentido del signo de desigualdad.
Pero no sabemos si x − 4 es positivo o negativo, así que debemos evitar multiplicar por él... consulta Cómo resolver desigualdades.
En su lugar, pasa el 2 a la izquierda:
3x−10x−4 − 2 > 0
Luego multiplica el 2 por (x−4)/(x−4):
3x−10x−4 − 2x−4x−4 > 0
Ahora tenemos un común denominador, juntémoslo todo:
3x−10 − 2(x−4)x−4 > 0
Simplifica:
x−2x−4 > 0
2, encontremos los puntos clave
En x=2 tenemos: x−2x−4 = 0−2, que es un punto "=0", o raíz
En x=4 tenemos: x−2x−4 = 20, que no está definido
3, calcula puntos de prueba para ver qué ocurre en medio
El signo solo puede cambiar en los puntos clave: donde la expresión es igual a 0 o no está definida, en nuestro caso en x=2 y x=4.
Probemos puntos antes de 2, entre 2 y 4, y después de 4:
En x=0:
- x−2 = −2, que es negativo
- x−4 = −4, que también es negativo
- Por lo tanto (x−2)/(x−4) debe ser positivo
Podemos hacer lo mismo para x=3 y x=5 (o cualquier otro valor en esos intervalos), y obtenemos estos resultados:
| x=0 | x=2 | x=3 | x=4 | x=5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| x−2 | < 0 | > 0 | > 0 | ||
| x−4 | < 0 | < 0 | > 0 | ||
| lo que da | |||||
| x−2x−4 | > 0 | 0 | < 0 | indefinido | > 0 |
¡Eso nos da una imagen completa!
¿Y dónde es (x−2)/(x−4) > 0?
- Menor que 2
- Mayor que 4
Por lo tanto, después de reorganizar y analizar 3x−10x−4 > 2 obtenemos el resultado para x:
x < 2 o x > 4
O usando la notación de intervalos y el símbolo de unión ∪:
(−∞, 2) ∪ (4, +∞)
¡Hicimos todo eso sin dibujar una gráfica!
Y aquí está esa gráfica:
