Resolviendo Problemas Verbales

Ejemplo: Sergio y Antonio juegan tenis.

El fin de semana, Sergio jugó 4 juegos más que Antonio, y juntos jugaron 12 juegos.

¿En cuántos juegos participó Antonio?

Ejemplo: Sergio tiene 2 dólares menos que Antonio. ¿Cómo escribimos esto como una ecuación?

• Sea S = dólares que tiene Sergio
• Sea A = dólares que tiene Antonio

Ahora...¿será que: S − 2 = A

o debería ser: S = A − 2

o tal vez: S = 2 − A ?

La respuesta correcta es S = A − 2

(S − 2 = A es un error común, ya que el enunciado dice "Sergio ... 2 menos ... Antonio")

Ejemplo: en una calle hay el doble de perros que de gatos. ¿Cómo escribimos esto como una ecuación?

• Sea P = número de perros
• Sea G = número de gatos

Ahora...¿será que: 2P = G

o debería ser: P = 2G ?

¡Piensa cuidadosamente!

La respuesta correcta es P = 2G

(2P = G es un error común, ya que la pregunta dice "doble... perros... gatos")

Ejemplo: un jardín rectangular mide 12 m por 5 m, ¿cuál es su área?

Convierte el español en álgebra:

Boceto:

Las letras que usaremos:

• Usa l para el largo de rectángulo: l = 12m
• Usa a para la ancho de rectángulo: a = 5m

La fórmula para el Área de un Rectángulo: A = l × a

Se nos solicita el Área.

Solución:

A = l × a = 12 × 5 = 60 m²

El área es de 60 metros cuadrados.

Ejemplo: Sergio y Antonio juegan tenis. El fin de semana, Sergio jugó 4 partidos más que Antonio, y juntos jugaron 12 partidos. ¿Cuántos partidos jugó Antonio?

 Convierte el español en álgebra:

Las letras que usaremos:

• Usaremos S para cuántos partidos jugó Sergio
• Usaremos A para cuántos partidos jugó Antonio

Sabemos que Sergio jugó 4 partidos más que Antonio, así que: S = A + 4

Y sabemos que juntos jugaron 12 partidos : S + A = 12

Nos preguntan cuántos partidos jugó Antonio: A

Solución:

Lo que significa que Antonio jugó 4 partidos de tenis.

Comprobación: Sergio jugó 4 partidos más que Antonio, por lo que Sergio jugó 8 partidos. Juntos jugaron 8 + 4 = 12 partidos. ¡Sí!

Ejemplo: Antonio y Sergio también construyen mesas. Juntos hacen 10 mesas en 12 días.

Antonio trabajando solo puede hacer 10 en 30 días.

¿Cuánto tiempo le llevaría a Sergio trabajar solo para hacer 10 mesas?

 Convierte el español en álgebra:

Las letras que usaremos:

• Usa a para la tasa de rapidez de trabajo de Antonio
• Usa s para la tasa de rapidez de trabajo de Sergio

12 días de Antonio y Sergio son 10 mesas, entonces: 12a + 12s = 10

30 días de Antonio solo son también 10 mesas: 30a = 10

Se nos pregunta cuánto tiempo le tomaría a Sergio hacer 10 mesas.

Solución:

30a = 10, entonces la tasa de Antonio (mesas por día) es: a = 10/30 = 1/3

Lo que significa que la tasa de Sergio es media mesa al día (¡más rápido que Antonio!)

Entonces 10 mesas le tomarían a Sergio solo 20 días.

¿Deberían pagarle más a Sergio, me pregunto?

Ejemplo: Jennifer está entrenando duro para calificar para los Juegos Nacionales.

Ella tiene una rutina semanal regular, entrenando durante cinco horas al día algunos días y 3 horas al día los otros días.

Ella entrena en total 27 horas en una semana de siete días. ¿En cuántos días entrena durante cinco horas?

Las letras que usaremos:

• El número de días de "5 horas": d
• El número de días de "3 horas": e

Sabemos que hay siete días a la semana, así que: d + e = 7

Y ella entrena 27 horas en una semana, con d días de 5 horas y e días de 3 horas: 5d + 3e = 27

Se nos pregunta cuántos días entrena durante 5 horas: d

Solución:

El número de días de "5 horas" es 3

Comprobación: Ella entrena durante 5 horas los 3 días de la semana, por lo que debe entrenar durante 3 horas los otros 4 días de la semana.

3 × 5 horas = 15 horas, más 4 × 3 horas = 12 horas da un total de 27 horas

Ejemplo: Si un círculo tiene un área de 12 mm², ¿cuál es su radio?

Las letras que usaremos:

• Usa A para el área: A = 12 mm²
• Usa r para el radio

Y la fórmula para el área es: A = π r²

Se nos pide el radio.

Solución:

Necesitamos reorganizar la fórmula para encontrar el área

Ejemplo: Si un cubo tiene un volumen de 125 mm³, ¿cuál es su área de superficie?

Haz un bosquejo rápido:

Las letras que usaremos:

• Usa V para el volumen
• Usa A para el área
• Usa s para la longitud lateral del cubo

Fórmulas:

• Volumen de un cubo: V = s³
• Área de superficie de un cubo: A = 6s²

Se nos pide la superficie.

Solución:

Primero encuentra el valor de s usando la fórmula del volumen:

Ahora podemos calcular el área de la superficie:

Ejemplo: Joel trabaja en la pizzería local. Cuando trabaja horas extras gana 1¼ veces la tasa normal.

Una semana, Joel trabajó durante 40 horas a la tarifa normal de pago y también trabajó 12 horas extra. Si Joel ganó $660 dólares en total en esa semana, ¿cuál es su tasa de pago normal?

Las letras que usaremos:

• Tasa normal de pago de Joel: $N por hora

Fórmulas:

• Joel trabaja durante 40 horas a $N por hora = $40N
• Cuando Joel hace horas extras, gana 1¼ veces la tasa normal = $1.25N por hora
• Joel trabaja durante 12 horas a $1.25N por hora = $(12 × 1¼N) = $15N
• Y en total ganó $ 660, entonces:

$40N + $(12 × 1¼N) = $660

Nos piden la tasa normal de pago de Joel: $N.

Solución:

Entonces, la tasa de pago normal de Joel es de $12 por hora

Comprobación

La tasa normal de pago de Joel es de $12 por hora, por lo que su tarifa de horas extra es de 1¼ × $12 por hora = $15 por hora. Entonces, su pago normal de 40 × $12 = $480, más su pago de horas extras de 12 × $15 = $180 nos da un total de $660

Ejemplo: Antonio invierte $2000 en el banco con un interés compuesto anual de 11%. ¿Cuánto tendrá en 3 años?

Esta es la fórmula de interés compuesto:

Las letras que usaremos:

• Valor inicial Vi = $2,000
• Tasa de interés (como decimal): r = 0.11
• Número de periodos: n = 3
• Valor futuro (el valor que buscamos): Vf

Se nos pide el valor futuro: Vf

Solución:

Ejemplo: Rogelio depositó $1,000 en una cuenta de ahorros. El dinero generó interés compuesto anualmente a una misma tasa. Después de nueve años, el depósito de Rogelio ha aumentado a $1,551.33

¿Cuál fue la tasa de interés anual para la cuenta de ahorro?

La fórmula del interés compuesto:

Con:

• Valor inicial Vi = $1,000
• Tasa de interés (el valor que queremos): r
• Número de periodos: n = 9
• Valor futuro: Vf = $1,551.33

Se nos solicita la tasa de interés: r

Solución:

Entonces la tasa de interés anual es del 5%

Comprobación: $1,000 × (1.05)⁹ = $1,000 × 1.55133 = $1,551.33

Ejemplo: al comienzo del año, la proporción de niños y niñas en una clase es de 2:1

Pero ahora, medio año después, cuatro niños abandonaron la clase y hay dos niñas nuevas. La proporción de niños a niñas es ahora 4:3

¿Cuántos estudiantes hay en total ahora?

Las letras que usaremos:

• Número de niños ahora: b
• Número de niñas ahora: g

La proporción actual es 4 : 3

bg = 43

Que se puede reorganizar como 3b = 4g

A principios de año habían (b + 4) niños y (g − 2) niñas, y la proporción era 2 : 1

b + 4g − 2 = 21

Lo cual se puede reorganizar como b + 4 = 2(g − 2)

Se nos pregunta cuántos estudiantes hay en total ahora: b + g

Solución:

¡Hay 12 niñas!

Y 3b = 4g, así que b = 4g/3 = 4 × 12 / 3 = 16, por lo que hay 16 niños

Así que ahora hay 12 niñas y 16 niños en la clase, con un total de 28 estudiantes.

Comprobación

Ahora hay 16 niños y 12 niñas, por lo que la proporción de niños a niñas es 16 : 12 = 4 : 3
Al comienzo del año había 20 niños y 10 niñas, por lo que la proporción era 20 : 10 = 2 : 1

Ejemplo: El producto de dos enteros pares consecutivos es 168. ¿Cuáles son los enteros?

Que sean consecutivos significa uno tras otro. Y son pares, por lo que podrían ser 2 y 4, o 4 y 6, etc.

Llamaremos al entero más pequeño n, por lo que el entero más grande debe ser n + 2

Y nos dicen que el producto (lo que obtenemos después de multiplicar) es 168, por lo que sabemos lo siguiente:

n(n + 2) = 168

Nos piden los enteros

Solución:

Esa es una Ecuación Cuadrática, y hay muchas formas de resolverla. Utilizando el Solucionador de Ecuaciones Cuadráticas obtenemos −14 y 12.

Comprobación −14: −14(−14 + 2) = (−14)×(−12) = 168 SÍ

Comprobación 12: 12(12 + 2) = 12×14 = 168 SÍ

Entonces hay dos soluciones: −14 y −12 es una, 12 y 14 es la otra.

 

Nota: también podríamos haber intentado "adivinar y verificar":

• Podríamos haber intentado n=10: 10(12) = 120 NO (se queda corto)
• Luego podríamos haber intentado n=12: 12(14) = 168 SÍ

Pero si no nos acordábamos que negativo por negativo da positivo se nos podría haber escapado la otra solución (−14)×(−12).

Ejemplo: Eres un arquitecto. Tu cliente quiere una habitación dos veces más larga que ancha. También quieren una terraza (veranda) de 3m de ancho a lo largo del lado largo.

Tu cliente tiene 56 metros cuadrados de hermosos azulejos de mármol para cubrir toda el área.

¿Cuál debería ser la longitud de la habitación?

¡Primero tracemos un boceto para hacer las cosas bien!

Las letras que usaremos:

• el largo de la habitación: L
• la profundidad (ancho) de la habitación: P
• El área total incluyendo la terraza: A

Sabemos:

• el ancho de la habitación es la mitad de su longitud: P = ½L
• el área total es (ancho de la habitación + 3) veces la longitud: A = (P+3) × L = 56

Se nos pregunta por la longitud de la habitación: L

Solución:

Esta es una ecuación cuadrática, hay muchas formas de resolverla, esta vez usemos factorización:

Por lo tanto, L = 8 o −14

Hay dos soluciones para la ecuación cuadrática, ¡pero solo una de ellas es posible ya que la longitud de la habitación no puede ser negativa!

Entonces la longitud de la habitación es 8 m

Comprobación

L = 8, así que P = ½L = 4

Entonces el área del rectángulo = (P+3) × L = 7 × 8 = 56