Regresión de Mínimos Cuadrados
Recta de mejor ajuste
Imagina que tienes algunos puntos y deseas trazar una recta que se ajuste a ellos lo mejor posible, de esta manera:
Podemos colocar la recta "a ojo": intentando que quede lo más cerca posible de todos los puntos, y con una cantidad similar de puntos por encima y por debajo de la recta.
Pero para una mayor precisión, veamos cómo calcular la recta usando la Regresión de Mínimos Cuadrados.
La recta
Nuestro objetivo es calcular los valores m (pendiente) y b (ordenada al origen / intersección en y) en la ecuación de una recta:
Donde:
- y = valor vertical (qué tan arriba)
- x = valor horizontal (qué tan lejos)
- m = Pendiente o Gradiente (qué tan inclinada es la recta)
- b = la Ordenada al origen (donde la recta cruza al eje Y)
Pasos
Para encontrar la recta de mejor ajuste para N puntos:
Paso 1: Para cada punto (x,y) calcula x2 y xy
Paso 2: Suma todas las x, y, x2 y xy, lo que nos da Σx, Σy, Σx2 y Σxy (Σ significa "sumar")
Paso 3: Calcula la pendiente m:
m = N Σ(xy) − Σx ΣyN Σ(x2) − (Σx)2
(donde N es el número de puntos)
Paso 4: Calcula la ordenada al origen b:
b = Σy − m ΣxN
Paso 5: Ensambla la ecuación de la recta
y = mx + b
¡Listo!
¡Cuidado!: Σ(x2) y (Σx)2 ¡no son lo mismo!
- Σ(x2) significa elevar al cuadrado cada x primero, y luego sumarlas
- (Σx)2 significa sumar todos los valores de x primero, y luego elevar al cuadrado el total
Ejemplo
¡Veamos un ejemplo para ver cómo se hace!
Ejemplo: Samuel registró cuántas horas de sol frente a cuántos helados se vendieron en la tienda de lunes a viernes:
| "x" Horas de sol |
"y" Helados vendidos |
|---|---|
| 2 | 4 |
| 3 | 5 |
| 5 | 7 |
| 7 | 10 |
| 9 | 15 |
Encontremos los mejores valores de m (pendiente) y b (ordenada al origen) que se ajusten a esos datos
y = mx + b
Paso 1: Para cada (x,y) calcula x2 y xy:
| x | y | x2 | xy |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 4 | 8 |
| 3 | 5 | 9 | 15 |
| 5 | 7 | 25 | 35 |
| 7 | 10 | 49 | 70 |
| 9 | 15 | 81 | 135 |
Paso 2: Suma x, y, x2 y xy (nos da Σx, Σy, Σx2 y Σxy):
| x | y | x2 | xy |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 4 | 8 |
| 3 | 5 | 9 | 15 |
| 5 | 7 | 25 | 35 |
| 7 | 10 | 49 | 70 |
| 9 | 15 | 81 | 135 |
| Σx: 26 | Σy: 41 | Σx2: 168 | Σxy: 263 |
También N (número de valores de datos) = 5
Paso 3: Calcula la pendiente m:
m = N Σ(xy) − Σx ΣyN Σ(x2) − (Σx)2
= 5 × 263 − 26 × 415 × 168 − 262
= 1315 − 1066840 − 676
= 249164 = 1.5183...
Paso 4: Calcula la ordenada al origen b:
b = Σy − m ΣxN
= 41 − 1.5183 × 265
= 0.3049...
Paso 5: Ensambla la ecuación de la recta:
y = mx + b
y = 1.518x + 0.305
Veamos qué tan bien funciona:
| x | y | y = 1.518x + 0.305 | error |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 3.34 | −0.66 |
| 3 | 5 | 4.86 | −0.14 |
| 5 | 7 | 7.89 | 0.89 |
| 7 | 10 | 10.93 | 0.93 |
| 9 | 15 | 13.97 | −1.03 |
Aquí están los puntos (x,y) y la recta y = 1.518x + 0.305 en una gráfica:
¡Buen ajuste!
Samuel escucha el pronóstico del tiempo que dice "esperamos 8 horas de sol mañana", por lo que utiliza la ecuación anterior para estimar que venderá
y = 1.518 × 8 + 0.305 = 12.45 helados
Samuel prepara mezcla fresca de conos de barquillo para 14 helados por si acaso. ¡Qué rico!
¿Cómo funciona?
Funciona haciendo que el total del cuadrado de los errores sea lo más pequeño posible (por eso se llama "mínimos cuadrados"):
La línea recta minimiza la suma de los errores al cuadrado
Entonces, cuando elevamos al cuadrado cada uno de esos errores y los sumamos todos, el total es lo más pequeño posible.
Puedes imaginar (aunque no con total precisión) cada punto de datos conectado a una barra recta mediante resortes:
¡Boing!
Valores atípicos
¡Ten cuidado! Los mínimos cuadrados son sensibles a los valores atípicos. Un valor extraño atraerá la recta hacia él.
Usa la aplicación
Prueba la Calculadora de Mínimos Cuadrados
No solo para rectas
Esta idea se puede usar en muchas otras áreas, no solo para rectas.
Un "círculo de mejor ajuste"
Pero las fórmulas (y los pasos a seguir) serán muy diferentes.