Método de Coeficientes Indeterminados
Esta página trata sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden de este tipo:
d2ydx2 + P(x)dydx + Q(x)y = f(x)
donde P(x), Q(x) y f(x) son funciones de x.
El caso más simple, cuando f(x) = 0:
d2ydx2 + P(x)dydx + Q(x)y = 0
es "homogéneo" y se explica en Introducción a las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden. Primero aprende ese método, ya que te ayudará a comprender esta página.
Dos métodos
Hay dos métodos principales para resolver ecuaciones como esta
d2ydx2 + P(x)dydx + Q(x)y = f(x)
Variación de Parámetros que es un método un poco más complicado pero funciona en una gama más amplia de funciones.
Coeficientes Indeterminados (el cual aprenderemos aquí) que solo funciona cuando f(x) es un polinomio, una exponencial, seno, coseno o una combinación lineal de esas.
Coeficientes Indeterminados
Para simplificar las cosas, solo miraremos el caso:
d2ydx2 + pdydx + qy = f(x)
cuando p y q son constantes.
La solución completa a tal ecuación se puede encontrar combinando dos tipos de solución:
- La solución general de la ecuación homogénea
- Soluciones particulares de la ecuación no-homogénea
d2ydx2 + pdydx + qy = 0
d2ydx2 + pdydx + qy = f(x)
Toma en cuenta que f(x) podría ser una sola función o una suma de dos
o más funciones.
Una vez que hayamos encontrado la solución general y todas las
soluciones particulares, la solución completa se encuentra sumando todas
las soluciones.
Ejemplo 1:
La ecuación homogénea d2ydx2 − y = 0 tiene como solución general y = Aex + Be−x
La ecuación no-homogénea d2ydx2 − y = 2x2 − x − 3 tiene como solución particular
y = −2x2 + x − 1
Entonces la solución completa de la ecuación diferencial d2ydx2 − y = 2x2 − x − 3 es
y = Aex + Be−x − 2x2 + x − 1
Verifiquemos que la respuesta sea correcta:
y = Aex + Be−x − 2x2 + x − 1
Primera y segunda derivada:
dydx = Aex − Be−x − 4x + 1
d2ydx2 = Aex + Be−x − 4
Entonces
d2ydx2 − y
= Aex + Be−x − 4 − (Aex + Be−x − 2x2 + x − 1)
= Aex + Be−x − 4 − Aex − Be−x + 2x2 − x + 1
= 2x2 − x − 3 Correcto ✓
Entonces, en este caso hemos demostrado que la respuesta es correcta,
pero ¿cómo encontramos las soluciones particulares?
¡Podemos intentar suponer o adivinar ...!
Este método solo es fácil de aplicar si f(x) es una de los siguientes:
Y aquí hay una guía para ayudarnos a hacer una buena suposición:
f(x) | y(x) suposición/adivinando |
---|---|
aebx | Aebx |
a cos(cx) + b sin(cx) | A cos(cx) + B sin(cx) |
kxn (n=0,1,2,...) | Anxn + An-1xn-1 + … + A0 |
Pero hay una regla importante que debe aplicarse:
Primero debes encontrar la solución
general a la ecuación homogénea.
Verás por qué mientras continuamos.
Ejemplo 1 (de nuevo): Resolver d2ydx2 − y = 2x2 − x − 3
1. Encuentra la solución general de
d2ydx2 − y = 0
La ecuación característica es: r2 − 1 = 0
Factoriza: (r − 1)(r + 1) = 0
r = 1 o −1
Entonces la solución general de la ecuación diferencial es
y = Aex + Be−x
2. Encuentra la solución particular de
d2ydx2 − y = 2x2 − x − 3
Ahora hay que suponer la que podría ser la solución:
Sea y = ax2 + bx + c
dydx = 2ax + b
d2ydx2 = 2a
Sustituye esos valores en d2ydx2 − y = 2x2 − x − 3
2a − (ax2 + bx + c) = 2x2 − x − 3
2a − ax2 − bx − c = 2x2 − x − 3
− ax2 − bx + (2a − c) = 2x2 − x − 3
Iguala los coeficientes:
coeficientes con x2: | −a = 2 ⇒ a = −2 ... (1) |
coeficientes con x: | −b = −1 ⇒ b = 1 ... (2) |
Coeficientes constantes: | 2a − c = −3 ... (3) |
Sustituye a = −2 de (1) en (3)
−4 − c = −3
c = −1
a = −2, b = 1 y c = −1, entonces la solución particular de la ecuación diferencial es
y = − 2x2 + x − 1
Finalmente, combinamos nuestras dos respuestas para obtener la solución completa:
y = Aex + Be−x − 2x2 + x − 1
¿Por qué supusimos y = ax2 + bx + c (una función
cuadrática) y no incluimos un término cúbico (o superior)?
La respuesta es simple. La función f(x) en el lado derecho de la
ecuación diferencial no tiene término cúbico (o superior); entonces,
si y tuviera un término cúbico, su coeficiente tendría que ser
cero.
Por tanto, para una ecuación diferencial del tipo d2ydx2
+ pdydx + qy =
f(x) donde f(x) es un polinomio de
grado n, nuestra suposición de y también será un polinomio
de grado n.
Ejemplo 2: Resolver
6d2ydx2 − 13dydx − 5y = 5x3 + 39x2 − 36x − 10
1. Encuentra la solución general de 6d2ydx2 − 13dydx − 5y = 0La ecuación característica es: 6r2 − 13r − 5 = 0
Factoriza: (2r − 5)(3r + 1) = 0
r = 52 o −13
De modo que la solución general de la ecuación diferencial es
y = Ae(5/2)x + Be(−1/3)x
2. Encuentra la solución particular de 6d2ydx2 − 13dydx − 5y = 5x3 + 39x2 − 36x − 10
Hay que suponer que la solución es cúbica porque 5x3 + 39x2 − 36x − 10 es cúbica.
Sea y = ax3 + bx2 + cx + d
dydx = 3ax2 + 2bx + c
d2ydx2
= 6ax + 2b
Sustituye esos valores en 6d2ydx2 − 13dydx −5y = 5x3 + 39x2 −36x −10
6(6ax + 2b) − 13(3ax2 + 2bx + c) − 5(ax3 + bx2 + cx + d) = 5x3 + 39x2 − 36x − 10
36ax + 12b − 39ax2 − 26bx − 13c − 5ax3 − 5bx2 − 5cx − 5d = 5x3 + 39x2 − 36x − 10
−5ax3 + (−39a − 5b)x2 + (36a − 26b - 5c)x + (12b − 13c − 5d) = 5x3 + 39x2 − 36x − 10
Iguala los coeficientes:
coeficientes con x3: | −5a = 5 ⇒ a = −1 |
coeficientes con x2: | −39a −5b = 39 ⇒ b = 0 |
coeficientes con x: | 36a −26b −5c = −36 ⇒ c = 0 |
coeficientes constantes: | 12b − 13c −5d = −10 ⇒ d = 2 |
Entonces la solución particular es:
y = −x3 + 2
Finalmente, combinamos nuestras dos respuestas para obtener la solución completa:
y = Ae(5/2)x + Be(−1/3)x − x3 + 2
Y aquí hay algunas curvas de muestra:
Ejemplo 3: Resolver d2ydx2 + 3dydx − 10y = −130cos(x) + 16e3x
En este caso, necesitamos resolver tres ecuaciones diferenciales:
1. Encontrar la solución general de d2ydx2 + 3dydx − 10y = 0
2. Encontrar la solución particular de d2ydx2 + 3dydx − 10y = −130cos(x)
3. Encontrar la solución particular de d2ydx2 + 3dydx − 10y = 16e3x
Entonces, así es como se hace:
1. Encuentra la solución general de d2ydx2
+ 3dydx − 10y = 0
La ecuación característica es: r2 + 3r − 10 = 0
Factoriza: (r − 2)(r + 5) = 0
r = 2 o −5
Entonces la solución general de la ecuación diferencial es:
y = Ae2x+Be−5x
2. Encuentra la solución particular de d2ydx2 + 3dydx − 10y = −130cos(x)
Haz una suposición: dado que f(x) es una función coseno, supondremos
que y es una combinación lineal de las funciones
seno y coseno:
Prueba y = acos(x) + bsin(x)
dydx = − asin(x) + bcos(x)
d2ydx2 = − acos(x) − bsin(x)
Sustituye esos valores en d2ydx2 + 3dydx − 10y = −130cos(x)
−acos(x) − bsin(x) + 3[−asin(x) + bcos(x)] − 10[acos(x)+bsin(x)] = −130cos(x)
cos(x)[−a + 3b − 10a] + sin(x)[−b − 3a − 10b] = −130cos(x)
cos(x)[−11a + 3b] + sin(x)[−11b − 3a] = −130cos(x)
Iguala los coeficientes:
Coeficientes de cos(x): | −11a + 3b = −130 ... (1) |
Coeficientes de sin(x): | −11b − 3a = 0 ... (2) |
De la ecuación (2), a = −11b3
Sustituye en la ecuación (1)
121b3 + 3b = −130
130b3 = −130
b = −3
a = −11(−3)3
= 11
Entonces la solución particular es:
y = 11cos(x) − 3sin(x)
3. Encuentra la solución particular para d2ydx2 + 3dydx − 10y = 16e3x
Adivina.
Prueba con y = ce3x
dydx = 3ce3x
d2ydx2 = 9ce3x
Sustituye esos valores en d2ydx2 + 3dydx − 10y = 16e3x
9ce3x + 9ce3x − 10ce3x = 16e3x
8ce3x = 16e3x
c = 2
Entonces la solución particular es:y = 2e3x
Finalmente, combinamos nuestras tres respuestas para obtener la solución completa:
y = Ae2x + Be−5x
+ 11cos(x) − 3sin(x) + 2e3x
Ejemplo 4: Resolver d2ydx2 + 3dydx − 10y = −130cos(x) + 16e2x
Esto es exactamente lo mismo que en el Ejemplo 3 excepto por el
término final, que ha sido reemplazado por 16e2x.
Entonces, los pasos 1 y 2 son exactamente iguales. Continúa con el
paso 3:
3. Encuentra la solución particular para d2ydx2 + 3dydx − 10y = 16e2x
Adivina.
Intenta con y = ce2x
dydx = 2ce2x
d2ydx2 = 4ce2x
Sustituye esos valores en d2ydx2 + 3dydx − 10y = 16e2x
4ce2x + 6ce2x − 10ce2x = 16e2x
0 = 16e2x
¡Caracoles! Parece que algo salió mal. ¿Cómo puede ser que 16e2x
= 0?
Bueno, no se puede, y no hay nada de malo aquí, excepto que no hay una
solución particular para la ecuación diferencial d2ydx2
+ 3dydx − 10y =
16e2x
La solución general a la ecuación homogénea d2ydx2 + 3dydx − 10y = 0, que es y = Ae2x + Be−5x, ya tiene un término Ae2x, así que la función que supusimos y = ce2x ya satisface la ecuación diferencial d2ydx2 + 3dydx − 10y = 0 (era solo una constante diferente).
Entonces debemos probar con y = cxe2x
Veamos qué ocurre:
dydx = ce2x + 2cxe2x
d2ydx2
= 2ce2x + 4cxe2x + 2ce2x = 4ce2x
+ 4cxe2x
Sustituye esos valores en d2ydx2 + 3dydx − 10y = 16e2x
4ce2x + 4cxe2x + 3ce2x + 6cxe2x − 10cxe2x = 16e2x
7ce2x = 16e2x
c = 167
Entonces, en el caso actual, nuestra solución particular es
y = 167xe2x
y = Ae2x + Be−5x +
11cos(x) − 3sin(x) + 167xe2x
Ejemplo 5: Resolver d2ydx2 − 6dydx + 9y = 5e−2x
1. Encuentra la solución general para d2ydx2 − 6dydx + 9y = 0
La ecuación característica es: r2 − 6r + 9 = 0
(r − 3)2 = 0
r = 3, que es una raíz repetida.
Entonces la solución general de la ecuación diferencial es y = Ae3x + Bxe3x
2. Encuentra la solución particular para d2ydx2 − 6dydx + 9y = 5e−2x
Haz una buena suposición.
Prueba con y = ce−2x
dydx = −2ce−2x
d2ydx2 = 4ce−2x
Sustituye esos valores en d2ydx2 − 6dydx + 9y = 5e−2x
4ce−2x + 12ce−2x + 9ce−2x = 5e−2x
25ce−2x = 5e−2x
c = 15
Entonces la solución particular es:
y= 15e−2x
Finalmente, combinamos nuestras dos respuestas para obtener la solución completa:
y= Ae3x + Bxe3x + 15e−2x
Ejemplo 6: Resolver d2ydx2 + 6dydx + 34y = 109cos(5x)
1. Encuentra la solución general para d2ydx2 + 6dydx + 34y = 0
La ecuación característica es: r2 + 6r + 34 = 0
Usa la fórmula de la ecuación cuadrática
r = −b ± √(b2 − 4ac)2a
con a = 1, b = 6 y c = 34
Luego
r = −6 ± √[62 − 4(1)(34)]2(1)
r = −6 ± √(36−136)2
r = −6 ± √(−100)2
r = −3 ± 5i
Y se tiene:
y =e−3x(Acos(5x) + iBsin(5x))
2. Encuentra la solución particular para d2ydx2 + 6dydx + 34y = 109sin(5x)Dado que f(x) es una función seno, asumimos que y
es una combinación lineal de las funciones seno y coseno:
Adivina.
Prueba con y = acos(5x) + bsin(5x)
Nota: dado que no tenemos sin(5x) o cos(5x) en la solución de la
ecuación homogénea (tenemos e−3xcos(5x) y e−3xsin(5x),
que son funciones diferentes), nuestra suposición debería funcionar.
Continuemos y veamos qué sucede:
dydx = −5asin(5x) + 5bcos(5x)
d2ydx2 = −25acos(5x) − 25bsin(5x)
Sustituye esos valores en d2ydx2 + 6dydx + 34y = 109sin(5x)
−25acos(5x) − 25bsin(5x) + 6[−5asin(5x) + 5bcos(5x)] + 34[acos(5x) + bsin(5x)] = 109sin(5x)
cos(5x)[−25a + 30b + 34a] + sin(5x)[−25b − 30a + 34b] = 109sin(5x)
cos(5x)[9a + 30b] + sin(5x)[9b − 30a] = 109sin(5x)
Iguala los coeficientes de cos(5x) y sin(5x):
Coeficientes de cos(5x): | 9a + 30b = 109 ... (1) |
Coeficientes de sin(5x): | 9b − 30a = 0 ... (2) |
De la ecuación (2), a = 3b10
Sustituye en la ecuación (1)
9(3b10) + 30b = 109
327b = 1090
b = 103
a = 1
Entonces la solución particular es:y = cos(5x) + 103sin(5x)
Finalmente, combinamos nuestras respuestas para obtener la solución completa:
y = e−3x(Acos(5x) + iBsin(5x)) + cos(5x) + 103sin(5x)
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).