Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

Aquí aprenderemos a resolver ecuaciones de este tipo:

d2ydx2 + pdydx + qy = 0

Ecuación Diferencial

Una Ecuación Diferencial es una ecuación con una función y una o más de sus derivadas:

ecuación diferencial y + dy/dx = 5x
Ejemplo: una ecuación con la función y y su derivada dy dx  

Orden

El orden es la derivada más alta (¿es una primera derivada? ¿una segunda derivada? etc):

Ejemplo:

dydx + y2 = 5x

Tiene solo la primera derivada  dy dx, por lo que es de "Primer Orden"

Ejemplo:

d2ydx2 + xy = sin(x)

Esta tiene una segunda derivada d2y dx2 , por lo que es de "Orden 2"

Ejemplo:

d3ydx3 + xdydx + y = ex

Esta tiene una tercera derivada d3y dx3  que supera a dy dx, por lo que es de "Orden 3"

Antes de abordar ecuaciones diferenciales de segundo orden, asegúrate de estar familiarizado con los distintos métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.

Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

Podemos resolver una ecuación diferencial de segundo orden del tipo:

d2ydx2 + P(x)dydx + Q(x)y = f(x)

donde P(x), Q(x) y f(x) son funciones de x, usando:

Variación de Parámetros que solo funciona cuando f(x) es un polinomio, exponencial, seno, coseno o una combinación lineal de esas.

Coeficientes Indeterminados que es un método un poco más complicado pero funciona en una gama más amplia de funciones.

Pero aquí comenzaremos aprendiendo el caso donde f(x) = 0 (esto la hace "homogénea"):

d2ydx2 + P(x)dydx + Q(x)y = 0

y también donde las funciones P(X) y Q(x) son constantes p y q:

d2ydx2 + pdydx + qy = 0

¡Aprendamos a resolverlas!

 

e al rescate

Vamos a utilizar una propiedad especial de la derivada de la función exponencial:

En cualquier punto la pendiente (derivada) de ex es igual a ex :

función exponencial natural

Y cuando introducimos un valor "r" de esta forma:

f(x) = erx

Tenemos lo siguiente:

En otras palabras, la primera y segunda derivadas de f(x) son múltiplos de f(x)

¡Esto nos va a ayudar mucho!

Ejemplo 1: Resuelve

d2ydx2 + dydx − 6y = 0

Sea y = erx, por lo que tenemos:

Sustituye estos en la ecuación anterior:

r2erx + rerx − 6erx = 0

Simplifica:

erx(r2 + r − 6) = 0

r2 + r − 6 = 0

¡Hemos reducido la ecuación diferencial a una ecuación cuadrática ordinaria!

A esta ecuación cuadrática se le da el nombre especial de ecuación característica.

Podemos factorizarla así:

(r − 2)(r + 3) = 0

Por lo tanto, r = 2 o −3

Y entonces tenemos dos soluciones:

y = e2x

y = e−3x

Pero esa no es la respuesta final porque podemos combinar diferentes múltiplos de estas dos respuestas para obtener una solución más general:

y = Ae2x + Be−3x

Comprobación

Comprobemos esa respuesta. Primero derivemos:

y = Ae2x + Be−3x

dydx = 2Ae2x − 3Be−3x

d2ydx2 = 4Ae2x + 9Be−3x

Ahora sustituyamos en la ecuación original:

d2ydx2 + dydx − 6y = 0

(4Ae2x + 9Be−3x) + (2Ae2x − 3Be−3x) − 6(Ae2x + Be−3x) = 0

4Ae2x + 9Be−3x + 2Ae2x − 3Be−3x − 6Ae2x − 6Be−3x = 0

4Ae2x + 2Ae2x − 6Ae2x+ 9Be−3x− 3Be−3x − 6Be−3x = 0

0 = 0

¡Perfecto!

Entonces, ¿este método funciona en general?

Bueno, sí y no. La respuesta a esta pregunta depende de las constantes p y q.

Con y = erx como una solución de la ecuación diferencial

d2ydx2 + pdydx + qy = 0

se tiene:

r2erx + prerx + qerx = 0

erx(r2 + pr + q) = 0

r2 + pr + q = 0

Esta es una ecuación cuadrática, y puede haber tres tipos de respuestas:

¡La manera de resolver depende de cuál tipo sea!

Podemos encontrar fácilmente de qué tipo es calculando el discriminante p2 − 4q. Cuando es

Gráfica Cuadrática

Dos raíces reales distintas

Cuando el discriminante p2 − 4q es positivo podemos ir directamente de la ecuación diferencial

d2ydx2 + pdydx + qy = 0

a la "ecuación característica":

r2 + pr + q = 0

a la solución general con dos raíces reales r1r2:

y = Aer1x + Ber2x

Ejemplo 2: Resuelve

d2ydx2 − 9dydx + 20y = 0

La ecuación característica es:

r2 − 9r + 20 = 0

Factoriza:

(r − 4)(r − 5) = 0

r = 4 o 5

Entonces, la solución general de nuestra ecuación diferencial es:

y = Ae4x + Be5x

Y aquí hay algunos valores de muestra:

y = Ae^4x + Be^5x

Ejemplo 3: Resuelve

6d2ydx2 + 5dydx − 6y = 0

La ecuación característica es:

6r2 + 5r − 6 = 0

Factoriza:

(3r − 2)(2r + 3) = 0

r = 23 o −32

Entonces, la solución general de nuestra ecuación diferencial es:

y = Ae(23x) + Be(−32x)

Ejemplo 4: Resuelve

9d2ydx2 − 6dydx − y = 0

La ecuación característica es:

9r2 − 6r − 1 = 0

Esto no se factoriza fácilmente, por lo que utilizamos la fórmula de la ecuación cuadrática:

x = −b ± √(b2 − 4ac) 2a

con a = 9, b = −6 y c = −1

x = −(−6) ± √((−6)2 − 4×9×(−1)) 2×9

x = 6 ± √(36 + 36) 18

x = 6 ± 6√2 18

x = 1 ± √2 3

Entonces, la solución general de la ecuación diferencial es

y = Ae(1 + √2 3)x + Be(1 − √2 3)x

Gráfica cuadrática

Una raíz real repetida

Cuando el discriminante p2 − 4q es cero obtenemos una raíz real (es decir, ambas raíces reales son iguales).

Aquí hay unos ejemplos:

Ejemplo 5: Resuelve

d2ydx2 − 10dydx + 25y = 0

La ecuación característica es:

r2 − 10r + 25 = 0

Factoriza:

(r − 5)(r − 5) = 0

r = 5

Así que tenemos una solución: y = e5x

 

PERO cuando e5x es una solución, ¡entonces xe5x también es una solución!

¿Por qué? Te lo mostraré:

y = xe5x

dydx = e5x + 5xe5x

d2ydx2 = 5e5x + 5e5x + 25xe5x = 10e5x + 25xe5x

Por lo tanto:

d2ydx2 − 10dydx + 25y

= 10e5x + 25xe5x − 10(e5x + 5xe5x) + 25xe5x

= (10e5x − 10e5x) + (25xe5x − 50xe5x + 25xe5x) = 0

Entonces, en este caso nuestra solución es:

y = Ae5x + Bxe5x

 

¿Cómo funciona esto en el caso general?

Con y = xerx tenemos las derivadas:

Entonces

d2ydx2 + p dydx + qy

= (rerx + rerx + r2xerx) + p( erx + rxerx ) + q( xerx )

= erx(r + r + r2x + p + prx + qx)

= erx(2r + p + x(r2 + pr + q))

= erx(2r + p) porque ya sabemos que r2 + pr + q = 0

 

Y cuando r2 + pr + q tiene una raíz repetida, entonces r = −p2 y 2r + p = 0

De modo que si r es una raíz repetida de la ecuación característica, entonces la solución general es

y = Aerx + Bxerx

Probemos con otro ejemplo para ver qué tan rápido podemos obtener una solución:

Ejemplo 6: Resuelve

4d2ydx2 + 4dydx + y = 0

La ecuación característica es:

4r2 + 4r + 1 = 0

Luego:

(2r + 1)2 = 0

r = −12

Entonces la solución de la ecuación diferencial es:

y = Ae(−½)x + Bxe(−½)x

Quadratic Graph with Complex Roots

Raíces complejas

Cuando el discriminante p2 − 4q es negativo se tienen raíces complejas.

Probemos con un ejemplo que nos ayude a descubrir cómo resolver las de este tipo:

Ejemplo 7: Resuelve

d2ydx2 − 4dydx + 13y = 0

La ecuación característica es:

r2 − 4r + 13 = 0

Esta no se factoriza, así que usaremos la fórmula de la ecuación cuadrática:

x = −b ± √(b2 − 4ac) 2a

con a = 1, b = −4 y c = 13

x = −(−4) ± √((−4)2 − 4×1×13) 2×1

x = 4 ± √(16 − 52) 2

x = 4 ± √(−36) 2

x = 4 ± 6i 2

x = 2 ± 3i

Si seguimos el método utilizado para dos raíces reales, podemos probar la solución:

y = Ae(2+3i)x + Be(2−3i)x

Podemos simplificar esto ya que e2x es un factor común:

y = e2x( Ae3ix + Be−3ix )

¡Pero no hemos terminado aún!

La Fórmula de Euler nos indica que:

eix = cos(x) + i sin(x)

Así que ahora podemos seguir una vía completamente nueva para (en su momento) simplificar las cosas.

Veamos solo la parte "A más B":

Ae3ix + Be−3ix

A(cos(3x) + i sin(3x)) + B(cos(−3x) + i sin(−3x))

Acos(3x) + Bcos(−3x) + i(Asin(3x) + Bsin(−3x))

Ahora aplicamos las Identidades Trigonométricas: cos(−θ)=cos(θ) y sin(−θ)=−sin(θ):

Acos(3x) + Bcos(3x) + i(Asin(3x) − Bsin(3x)

(A+B)cos(3x) + i(A−B)sin(3x)

Reemplaza A+B por C, y A−B por D:

Ccos(3x) + iDsin(3x)

Y obtenemos la solución:

y = e2x( Ccos(3x) + iDsin(3x) )

 

Comprobación

Tenemos nuestra respuesta, pero tal vez deberíamos comprobar que sí satisface la ecuación original:

y = e2x(Ccos(3x) + iDsin(3x))

dydx = e2x[−3Csin(3x)+3iDcos(3x)] + 2e2x[Ccos(3x)+iDsin(3x)]

d2ydx2 = e2x[(−12C −5iD)sin(3x) + (−5C + 12iD)cos(3x)]

Sustituye:

d2ydx2 − 4dydx + 13y = e2x[(−12C −5iD)sin(3x) + (−5C + 12iD)cos(3x)]
− 4{e2x[−3Csin(3x)+3iDcos(3x)] + 2e2x[Ccos(3x)+iDsin(3x)]} + 13[e2x(Ccos(3x) + iDsin(3x))]

... Por cierto, ¿por qué no intentas sumar todos los términos para ver si son iguales a cero ... si no, por favor házmelo saber, ¿OK?


¿Cómo generalizamos esto?

Generalmente, cuando resolvemos la ecuación característica con raíces complejas, obtendremos dos soluciones r1 = v + wi y r2 = v − wi

Entonces, la solución general de la ecuación diferencial es

y = evx ( Ccos(wx) + iDsin(wx) )

Ejemplo 8: Resuelve

d2ydx2 − 6dydx + 25y = 0

La ecuación característica es:

r2 − 6r + 25 = 0

Usa la fórmula de la ecuación cuadrática:

x = −b ± √(b2 − 4ac) 2a

donde a = 1, b = −6 y c = 25

x = −(−6) ± √((−6)2 − 4×1×25) 2×1

x = 6 ± √(36 − 100) 2

x = 6 ± √(−64) 2

x = 6 ± 8i 2

x = 3 ± 4i

Y obtenemos la solución:

y = e3x(Ccos(4x) + iDsin(4x))



Ejemplo 9: Resuelve

9d2ydx2 + 12dydx + 29y = 0

La ecuación característica es:

9r2 + 12r + 29 = 0

Usa la fórmula de la ecuación cuadrática:

x = −b ± √(b2 − 4ac) 2a

con a = 9, b = 12 y c = 29

x = −12 ± √(122 − 4×9×29) 2×9

x = −12 ± √(144 − 1044) 18

x = −12 ± √(−900) 18

x = −12 ± 30i 18

x = −23 ± 53i

Y obtenemos la solución:

y = e(−23)x(Ccos(53x) + iDsin(53x))


Resumen

Para resolver una ecuación diferencial lineal de segundo orden de la forma

d2ydx2 + pdydx + qy = 0

donde p y q son constantes, debemos encontrar las raíces de la ecuación característica

r2 + pr + q = 0

Hay tres casos, según el discriminante p2 - 4q. Cuando es

positivo obtenemos dos raíces reales, y la solución es

y = Aer1x + Ber2x

cero obtenemos una raíz real, y la solución es

y = Aerx + Bxerx

negativo obtenemos dos raíces complejas r1 = v + wi y r2 = v − wi, y la solución es

y = evx ( Ccos(wx) + iDsin(wx) )

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).