Método de Variación de Parámetros
Esta página trata sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden de este tipo:
d2ydx2 + P(x)dydx + Q(x)y = f(x)
donde P(x), Q(x) y f(x) son funciones de x.
El caso más simple, cuando f(x) = 0:
d2ydx2 + P(x)dydx + Q(x)y = 0
es "homogéneo" y se explica en Introducción a las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden. Primero aprende ese método, ya que te ayudará a comprender esta página.Dos métodos
Hay dos métodos principales para resolver ecuaciones como estad2ydx2 + P(x)dydx + Q(x)y = f(x)
Coeficientes indeterminados, que solo funciona cuando f(x) es un polinomio, una exponencial, seno, coseno o una combinación lineal de esas.
Variación de Parámetros, (el cual aprenderemos aquí), que es un método un poco más complicado pero funciona en una gama más amplia de funciones.
Variación de Parámetros
Para simplificar las cosas, solo miraremos el caso:
d2ydx2 + pdydx + qy = f(x)
cuando p y q son constantes y f(x) es una función de x distinta de cero.La solución completa a tal ecuación se puede encontrar combinando dos tipos de solución:
- La solución general de la ecuación homogénea d2ydx2 + pdydx + qy = 0
- Soluciones particulares de la ecuación no-homogénea d2ydx2 + pdydx + qy = f(x)
Una vez que hayamos encontrado la solución general y todas las soluciones particulares, la solución completa se encuentra sumando todas las soluciones.
Este método se basa en integración.
El problema con este método es que, aunque puede dar una solución, en algunos casos la solución debe dejarse como una integral.
Comienza con la solución general
En Introducción
a las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden se puede aprender
a encontrar la solución general.
Básicamente tomamos la ecuación
d2ydx2 + pdydx + qy = 0
y se reduce a su "ecuación característica":
r2 + pr + q = 0
La cual es una ecuación cuadrática que tiene tres posibles tipos de solución dependiendo del discriminante p2 − 4q. Cuando p2 − 4q es
positivo, obtenemos dos raíces reales, y la solución es
y = Aer1x + Ber2x
cero, obtenemos una raíz real, y la solución es
y = Aerx + Bxerx
negativo, obtenemos dos raíces complejas r1 = v + wi y r2 = v − wi, y la solución es
y = evx ( Ccos(wx) + iDsin(wx) )
Las soluciones fundamentales de la ecuación
En los tres casos anteriores, la "y" consta de dos partes:
- y = Aer1x + Ber2x se compone de y1 = er1x y y2 = er2x
- y = Aerx + Bxerx se compone de y1 = erx y y2 = xerx
- y = evx ( Ccos(wx) + iDsin(wx) ) se compone de y1 = evxcos(wx) y y2 = evxsin(wx)
y1 y y2 se conocen como las soluciones
fundamentales de la ecuación.
Además, se dice que y1 y y2 son linealmente
independientes porque ninguna función es un múltiplo
constante de la otra.
El Wronskiano
Cuando y1 y y2 son las dos soluciones fundamentales de la ecuación homogénea
d2ydx2 + pdydx + qy = 0
entonces el Wronskiano W(y1, y2) es el determinante de la matriz
Es decir:
W(y1, y2) = y1y2' − y2y1'
El Wronskiano lleva el nombre del matemático y filósofo polaco Józef Hoene-Wronski (1776−1853).
Puesto que y1 y y2 son linealmente independientes, el valor del Wronskiano no puede ser igual a cero.
La solución particular
Usando el Wronskiano ahora podemos encontrar la solución particular de la ecuación diferencial
d2ydx2 + pdydx + qy = f(x)
usando la fórmula:
yp(x) = −y1(x)∫y2(x)f(x)W(y1, y2)dx + y2(x)∫y1(x)f(x)W(y1, y2)dx
Ejemplo 1: Resuelve d2ydx2 − 3dydx + 2y = e3x
1. Encuentra la solución general de d2ydx2 − 3dydx + 2y = 0
La ecuación característica es: r2 − 3r + 2 = 0
Factoriza: (r − 1)(r − 2) = 0
r = 1 o 2
Entonces, la solución general de la ecuación diferencial es y = Aex+Be2x
Entonces en este caso las soluciones fundamentales y sus derivadas son:
y1(x) = ex
y1'(x) = ex
y2(x) = e2x
y2'(x) = 2e2x
2. Calcula el Wronskiano:
W(y1, y2) = y1y2' − y2y1' = 2e3x − e3x = e3x
3. Encuentra la solución particular usando la fórmula:
4. Primero se resuelven las integrales:
∫y2(x)f(x)W(y1, y2)dx
= ∫e2xe3xe3xdx
= ∫e2xdx
= 12e2x
Por lo tanto:
−y1(x)∫y2(x)f(x)W(y1, y2)dx = −(ex)(12e2x) = −12e3x
Y también:
∫y1(x)f(x)W(y1, y2)dx
= ∫exe3xe3xdx
= ∫exdx
= ex
Luego:
y2(x)∫y1(x)f(x)W(y1, y2)dx = (e2x)(ex) = e3x
Finalmente:
yp(x) = −y1(x)∫y2(x)f(x)W(y1, y2)dx + y2(x)∫y1(x)f(x)W(y1, y2)dx
= −12e3x + e3x
= 12e3x
y la solución completa de la ecuación diferencial d2ydx2 − 3dydx + 2y = e3x es
y = Aex + Be2x + 12e3x
Que se ve así (valores de ejemplo de A y B):
Ejemplo 2: Resuelve d2ydx2 − y = 2x2 − x − 3
1. Encuentra la solución general de d2ydx2 − y = 0
La ecuación característica es: r2 − 1 = 0
Factoriza: (r − 1)(r + 1) = 0
r = 1 o −1
Entonces, la solución general de la ecuación diferencial es y = Aex+Be−x
De modo que, en este caso, las soluciones fundamentales y sus derivadas son:
y1(x) = ex
y1'(x) = ex
y2(x) = e−x
y2'(x) = −e−x
2. Calcula el Wronskiano:
W(y1, y2) = y1y2' − y2y1' = −exe−x − exe−x = −2
3. Encuentra la solución particular usando la fórmula:
yp(x) = −y1(x)∫y2(x)f(x)W(y1, y2)dx + y2(x)∫y1(x)f(x)W(y1, y2)dx
4. Resuelve las integrales:
∫y2(x)f(x)W(y1, y2)dx
= ∫e−x (2x2−x−3)−2dx
= −12 ∫(2x2−x−3)e−xdx
= −12[ −(2x2−x−3)e−x + ∫(4x−1)e−x dx ]
= −12[ −(2x2−x−3)e−x − (4x − 1)e−x + ∫4e−xdx ]
= −12[ −(2x2−x−3)e−x − (4x − 1)e−x − 4e−x ]
= e−x2[ 2x2 − x − 3 + 4x −1 + 4 ]
= e−x2[ 2x2 + 3x ]
Luego:
−y1(x)∫y2(x)f(x)W(y1, y2)dx = (−ex)[e−x2( 2x2 + 3x )] = −12(2x2 + 3x)
Y ahora esta:
∫y1(x)f(x)W(y1, y2)dx
= ∫ex (2x2−x−3)−2dx
= −12 ∫(2x2−x−3)exdx
= −12[ (2x2−x−3)ex − ∫(4x−1)ex dx ]
= −12[ (2x2−x−3)ex − (4x − 1)ex + ∫4exdx ]
= −12[ (2x2−x−3)ex − (4x − 1)ex + 4ex ]
= −ex2[ 2x2 − x − 3 − 4x + 1 + 4 ]
= −ex2[ 2x2
− 5x + 2 ]
Luego:
y2(x)∫y1(x)f(x)W(y1, y2)dx = (e−x)[−ex2( 2x2 − 5x + 2 ) ] = −12( 2x2 − 5x + 2 )
Finalmente:
yp(x) = −y1(x)∫y2(x)f(x)W(y1, y2)dx + y2(x)∫y1(x)f(x)W(y1, y2)dx
= −12( 2x2 + 3x ) − 12( 2x2 − 5x + 2 )
= −12( 4x2 − 2x + 2 )
= −2x2 + x − 1
y la solución completa de la ecuación diferencial d2ydx2 − y = 2x2 − x − 3 es
y = Aex + Be−x − 2x2 + x − 1
(Esta es la misma respuesta que obtuvimos en el Ejemplo 1 en la página Método de Coeficientes Indeterminados).
Ejemplo 3: Resuelve d2ydx2 − 6dydx + 9y =1x
1. Encuentra la solución general de d2ydx2 − 6dydx + 9y = 0
La ecuación característica es: r2 − 6r + 9 = 0
Factoriza: (r − 3)(r − 3) = 0
r = 3
Entonces, la solución general de la ecuación diferencial es y = Ae3x + Bxe3x
Y así, en este caso, las soluciones fundamentales y sus derivadas son:
y1(x) = e3x
y1'(x) = 3e3x
y2(x) = xe3x
y2'(x) = (3x + 1)e3x
2. Calcula el Wronskiano:
W(y1, y2) = y1y2' − y2y1' = (3x + 1)e3xe3x − 3xe3xe3x = e6x
3. Encuentra la solución particular usando la fórmula:
∫y2(x)f(x)W(y1, y2)dx
= ∫(xe3x)x−1 e6xdx (Nota: 1x = x−1)
= ∫e−3xdx
= −13e−3x
Por lo tanto:
−y1(x)∫y2(x)f(x)W(y1, y2)dx = −(e3x)(−13e−3x) = 13
Y ahora esta:
∫y1(x)f(x)W(y1, y2)dx
= ∫e3xx−1e6xdx
= ∫e−3xx−1dx
Esto no se puede integrar, por lo que este es un ejemplo en el que la
respuesta debe dejarse como una integral.
Entonces:
y2(x)∫y1(x)f(x)W(y1, y2)dx = ( xe3x )( ∫e−3xx−1dx ) = xe3x∫e−3xx−1dx
Finalmente:
yp(x) = −y1(x)∫y2(x)f(x)W(y1, y2)dx + y2(x)∫y1(x)f(x)W(y1, y2)dx
= 13 + xe3x∫e−3xx−1dx
Entonces la solución completa de la ecuación diferencial d2ydx2 − 6dydx + 9y = 1x es
y = Ae3x + Bxe3x + 13 + xe3x∫e−3xx−1dx
Ejemplo 4 (un ejemplo más difícil): Resuelve d2ydx2 − 6dydx + 13y = 195cos(4x)
Este ejemplo usa las siguientes identidades trigonométricas
sin2(θ) + cos2(θ) = 1
sin(θ ± φ) = sin(θ)cos(φ) ± cos(θ)sin(φ)
cos(θ ± φ) = cos(θ)cos(φ) sin(θ)sin(φ)
sin(θ)cos(φ) = 12[sin(θ
+ φ) + sin(θ − φ)]
cos(θ)cos(φ) = 12[cos(θ
− φ) + cos(θ + φ)]
1. Encuentra la solución general de d2ydx2 − 6dydx + 13y = 0
La ecuación característica es: r2 − 6r + 13 = 0
Usa la fórmula de la ecuación cuadrática
x = −b ± √(b2 − 4ac)2a
con a = 1, b = −6 y c = 13
Queda así:
r = −(−6) ± √[(−6)2 − 4(1)(13)] 2(1)
= 6 ± √[36−52] 2
= 6 ± √[−16] 2
= 6 ± 4i 2
= 3 ± 2i
De modo que α = 3 y β = 2
⇒ y = e3x[Acos(2x) + iBsin(2x)]
Y en este caso tenemos:
y1(x) = e3xcos(2x)
y1'(x) = e3x[3cos(2x) − 2sin(2x)]
y2(x) = e3xsin(2x)
y2'(x) = e3x[3sin(2x) + 2cos(2x)]
2. Calcula el Wronskiano:
W(y1, y2) = y1y2' − y2y1'
= e6xcos(2x)[3sin(2x) + 2cos(2x)] − e6xsin(2x)[3cos(2x) − 2sin(2x)]
= e6x[3cos(2x)sin(2x) +2cos2(2x) − 3sin(2x)cos(2x) + 2sin2(2x)]
=2e6x
3. Encuentra la solución particular usando la fórmula:
yp(x) = −y1(x)∫y2(x)f(x)W(y1, y2)dx + y2(x)∫y1(x)f(x)W(y1, y2)dx
∫y2(x)f(x)W(y1, y2)dx
= ∫e3xsin(2x)[195cos(4x)]2e6xdx
= 1952∫e−3xsin(2x)cos(4x)dx
= 1954∫e−3x[sin(6x) − sin(2x)]dx ... (1)
En este caso, no haremos la integración todavía, por razones que se
aclararán en un momento.
La otra integral es:
∫y1(x)f(x)W(y1, y2)dx
= ∫e3xcos(2x)[195cos(4x)]2e6xdx
= 1952∫e−3xcos(2x)cos(4x)dx
= 1954∫e−3x[cos(6x) + cos(2x)]dx ... (2)
De las ecuaciones (1) y (2) vemos que hay cuatro integraciones muy
similares que necesitamos realizar:
I1 = ∫e−3xsin(6x)dx
I2 = ∫e−3xsin(2x)dx
I3 = ∫e−3xcos(6x)dx
I4 = ∫e−3xcos(2x)dx
Cada una de estas se puede obtener usando Integración Por Partes dos veces, pero hay un método más fácil:
I1 = ∫e−3xsin(6x)dx = −16e−3xcos(6x) − 36∫e−3xcos(6x)dx = − 16e−3xcos(6x) − 12I3
⇒ 2I1 + I3 = − 13e−3xcos(6x) ... (3)
I2 = ∫e−3xsin(2x)dx = −12e−3xcos(2x) − 32∫e−3xcos(2x)dx = − 12e−3xcos(2x) − 32I4
⇒ 2I2 + 3I4 = − e−3xcos(2x) ... (4)
I3 = ∫e−3xcos(6x)dx
= 16e−3xsin(6x)
+ 36∫e−3xsin(6x)dx
= 16e−3xsin(6x)
+ 12I1
⇒ 2I3 −
I1 = 13e−3xsin(6x)
... (5)
I4 = ∫e−3xcos(2x)dx
= 12e−3xsin(2x)
+ 32∫e−3xsin(2x)dx
= 12e−3xsin(2x) + 32I2
⇒ 2I4 − 3I2 = e−3xsin(2x) ... (6)
Resuelve las ecuaciones (3) y (5) simultáneamente:
2I1 + I3 = − 13e−3xcos(6x) ... (3)
2I3 − I1 = 13e−3xsin(6x) ... (5)
Multiplica la ecuación (5) por 2 y súmalas (el término I1 se neutralizará):
⇒ 5I3 = − 13e−3xcos(6x) + 23e−3xsin(6x)
= 13e−3x[2sin(6x) − cos(6x)]
⇒ I3 = 115e−3x[2sin(6x) − cos(6x)]
Multiplica la ecuación (3) por 2 y réstalas (el término I3 se neutralizará):
⇒ 5I1 = − 23e−3xcos(6x) − 13e−3xsin(6x)
= − 13e−3x[2cos(6x) + sin(6x)]
⇒ I1 = − 115e−3x[2cos(6x) + sin(6x)]
Resuelve las ecuaciones (4) y (6) simultáneamente:
2I2 + 3I4 = −e−3xcos(2x) ... (4)
2I4 − 3I2 = e−3xsin(2x) ... (6)
Multiplica la ecuación (4) por 3 y la ecuación (6) por 2 y suma (el término I2 se neutralizará):
⇒ 13I4 = −3e−3xcos(2x) + 2e−3xsin(2x)
=e−3x[2sin(2x) − 3 cos(2x)]
⇒ I4 = 113e−3x[2sin(2x) − 3cos(2x)]
Multiplica la ecuación (4) por 2 y la ecuación (6) por 3 y resta (el término I4 se neutralizará):
⇒ 13I2 = − 2e−3xcos(2x) − 3e−3xsin(2x)
=− e−3x[2cos(2x) + 3 sin(2x)]
⇒ I2 = − 113e−3x[2cos(2x) + 3sin(2x)]
Sustituye en (1) y (2):
∫y2(x)f(x)W(y1, y2)dx
= 1954∫e−3x[sin(6x) − sin(2x)]dx ... (1)
= 1954[− 115e−3x[2cos(6x) + sin(6x)] − [−113e−3x[2cos(2x) + 3sin(2x)]]]
= e−3x4[−13(2cos(6x)+sin(6x))+15(2 cos(2x)+3sin(2x))]
∫y1(x)f(x)W(y1, y2)dx
= 1954∫e−3x[cos(6x) + cos(2x)]dx ... (2)
= 1954[115e−3x[2sin(6x) − cos(6x)] + 113e−3x[2sin(2x) − 3cos(2x)]]
= e−3x4[13(2sin(6x) − cos(6x)) + 15(2sin(2x) − 3cos(2x))]
Por lo que yp(x) = −y1(x)∫y2(x)f(x)W(y1, y2)dx + y2(x)∫y1(x)f(x)W(y1, y2)dx
= −e3xcos(2x)e−3x4[−13(2cos(6x)+sin(6x)) + 15(2 cos(2x)+3sin(2x))] + e3xsin(2x)e−3x4[13(2sin(6x) − cos(6x)) + 15(2sin(2x) − 3cos(2x))]
= − 14cos(2x) [−13(2cos(6x) − sin(6x)) + 15(2 cos(2x) + 3sin(2x))] +14 sin(2x)[13(2sin(6x) − cos(6x)) + 15(2 sin(2x) − 3cos(2x))]
= 14[26cos(2x)cos(6x) + 13cos(2x)sin(6x) − 30cos2(2x) − 45cos(2x)sin(2x) + 26sin(2x)sin(6x) − 13sin(2x)cos(6x) + 30sin2(2x) − 45sin(2x)cos(2x)]
= 14[26[cos(2x)cos(6x) + sin(2x)sin(6x)] + 13[cos(2x)sin(6x) − sin(2x)cos(6x)] − 30[cos2(2x) − sin2(2x)] − 45[cos(2x)sin(2x) + sin(2x)cos(2x)]]
= 14[26cos(4x) + 13sin(4x) − 30cos(4x) − 45sin(4x)]
= 14[−4cos(4x) − 32sin(4x)]
= −cos(4x) − 8 sin(4x)
Entonces la solución completa de la ecuación diferencial d2ydx2 − 6dydx + 13y = 195cos(4x) es
y = e3x(Acos(2x) + iBsin(2x)) −
cos(4x) − 8sin(4x)
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).