Método de Variación de Parámetros

Esta página trata sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden de este tipo:

d2ydx2 + P(x)dydx + Q(x)y = f(x)

donde P(x), Q(x) y f(x) son funciones de x.

El caso más simple, cuando f(x) = 0:

d2ydx2 + P(x)dydx + Q(x)y = 0

es "homogéneo" y se explica en Introducción a las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden. Primero aprende ese método, ya que te ayudará a comprender esta página.

Dos métodos

Hay dos métodos principales para resolver ecuaciones como esta

d2ydx2 + P(x)dydx + Q(x)y = f(x)

Coeficientes indeterminados, que solo funciona cuando f(x) es un polinomio, una exponencial, seno, coseno o una combinación lineal de esas.

Variación de Parámetros, (el cual aprenderemos aquí), que es un método un poco más complicado pero funciona en una gama más amplia de funciones.

Variación de Parámetros

Para simplificar las cosas, solo miraremos el caso:

d2ydx2 + pdydx + qy = f(x)

cuando p y q son constantes y f(x) es una función de x distinta de cero.

La solución completa a tal ecuación se puede encontrar combinando dos tipos de solución:

  1. La solución general de la ecuación homogénea d2ydx2 + pdydx + qy = 0
  2. Soluciones particulares de la ecuación no-homogénea d2ydx2 + pdydx + qy = f(x)
Toma en cuenta que f(x) podría ser una sola función o una suma de dos o más funciones.

Una vez que hayamos encontrado la solución general y todas las soluciones particulares, la solución completa se encuentra sumando todas las soluciones.

Este método se basa en integración.

El problema con este método es que, aunque puede dar una solución, en algunos casos la solución debe dejarse como una integral.

Comienza con la solución general

En Introducción a las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden se puede aprender a encontrar la solución general.

Básicamente tomamos la ecuación

d2ydx2 + pdydx + qy = 0

y se reduce a su "ecuación característica":

r2 + pr + q = 0

La cual es una ecuación cuadrática que tiene tres posibles tipos de solución dependiendo del discriminante p2 − 4q. Cuando p2 − 4q es

positivo, obtenemos dos raíces reales, y la solución es

y = Aer1x + Ber2x

cero, obtenemos una raíz real, y la solución es

y = Aerx + Bxerx

negativo, obtenemos dos raíces complejas r1 = v + wi y r2 = v − wi, y la solución es

y = evx ( Ccos(wx) + iDsin(wx) )

Las soluciones fundamentales de la ecuación

En los tres casos anteriores, la "y" consta de dos partes:

y1 y y2 se conocen como las soluciones fundamentales de la ecuación.

Además, se dice que y1 y y2 son linealmente independientes porque ninguna función es un múltiplo constante de la otra.

El Wronskiano

Cuando y1 y y2 son las dos soluciones fundamentales de la ecuación homogénea

d2ydx2 + pdydx + qy = 0

entonces el Wronskiano W(y1, y2) es el determinante de la matriz

  matrix for the Wronskian 

Es decir:

W(y1, y2) = y1y2' − y2y1'

El Wronskiano lleva el nombre del matemático y filósofo polaco Józef Hoene-Wronski (1776−1853).

Puesto que y1 y y2 son linealmente independientes, el valor del Wronskiano no puede ser igual a cero.

La solución particular

Usando el Wronskiano ahora podemos encontrar la solución particular de la ecuación diferencial

d2ydx2 + pdydx + qy = f(x)

usando la fórmula:

yp(x) = −y1(x)y2(x)f(x)W(y1, y2)dx + y2(x)y1(x)f(x)W(y1, y2)dx


Ejemplo 1: Resuelve d2ydx2 − 3dydx + 2y = e3x

1. Encuentra la solución general de d2ydx2 − 3dydx + 2y = 0

La ecuación característica es: r2 − 3r + 2 = 0

Factoriza: (r − 1)(r − 2) = 0

r = 1 o 2

Entonces, la solución general de la ecuación diferencial es y = Aex+Be2x

Entonces en este caso las soluciones fundamentales y sus derivadas son:

y1(x) = ex

y1'(x) = ex

y2(x) = e2x

y2'(x) = 2e2x

2. Calcula el Wronskiano:

W(y1, y2) = y1y2' − y2y1' = 2e3x − e3x = e3x

3. Encuentra la solución particular usando la fórmula:

yp(x) = −y1(x)y2(x)f(x)W(y1, y2)dx + y2(x)y1(x)f(x)W(y1, y2)dx

4. Primero se resuelven las integrales:

y2(x)f(x)W(y1, y2)dx


= e2xe3xe3xdx

= e2xdx

= 12e2x

Por lo tanto:

−y1(x)y2(x)f(x)W(y1, y2)dx = −(ex)(12e2x) = −12e3x

Y también:

y1(x)f(x)W(y1, y2)dx


= exe3xe3xdx

= exdx

= ex

Luego:

y2(x)y1(x)f(x)W(y1, y2)dx = (e2x)(ex) = e3x

Finalmente:

yp(x) = −y1(x)y2(x)f(x)W(y1, y2)dx + y2(x)y1(x)f(x)W(y1, y2)dx

= −12e3x + e3x

= 12e3x

y la solución completa de la ecuación diferencial d2ydx2 − 3dydx + 2y = e3x es

y = Aex + Be2x + 12e3x

Que se ve así (valores de ejemplo de A y B):

Aex + Be2x + 12e3x


Ejemplo 2:  Resuelve d2ydx2 − y = 2x2 − x − 3


1. Encuentra la solución general de d2ydx2 − y = 0

La ecuación característica es: r2 − 1 = 0

Factoriza: (r − 1)(r + 1) = 0

r = 1 o −1

Entonces, la solución general de la ecuación diferencial es y = Aex+Be−x

De modo que, en este caso, las soluciones fundamentales y sus derivadas son:

y1(x) = ex

y1'(x) = ex

y2(x) = e−x

y2'(x) = −e−x

2. Calcula el Wronskiano:

W(y1, y2) = y1y2' − y2y1' = −exe−x − exe−x = −2

3. Encuentra la solución particular usando la fórmula:

yp(x) = −y1(x)y2(x)f(x)W(y1, y2)dx + y2(x)y1(x)f(x)W(y1, y2)dx

4. Resuelve las integrales:

Cada una de las integrales puede calcularse empleando Integración por Partes dos veces:

y2(x)f(x)W(y1, y2)dx


= e−x (2x2−x−3)−2dx

= −12 (2x2−x−3)e−xdx

= −12[ −(2x2−x−3)e−x + (4x−1)e−x dx ]

= −12[ −(2x2−x−3)e−x − (4x − 1)e−x + 4e−xdx ]

= −12[ −(2x2−x−3)e−x − (4x − 1)e−x − 4e−x ]

= e−x2[ 2x2 − x − 3 + 4x −1 + 4 ]

= e−x2[ 2x2 + 3x ]

Luego:

−y1(x)y2(x)f(x)W(y1, y2)dx = (−ex)[e−x2( 2x2 + 3x )] = −12(2x2 + 3x)

Y ahora esta:

y1(x)f(x)W(y1, y2)dx


= ex (2x2−x−3)−2dx

= −12 (2x2−x−3)exdx

= −12[ (2x2−x−3)ex(4x−1)ex dx ]

= −12[ (2x2−x−3)ex − (4x − 1)ex + 4exdx ]

= −12[ (2x2−x−3)ex − (4x − 1)ex + 4ex ]

= −ex2[ 2x2 − x − 3 − 4x + 1 + 4 ]

= −ex2[ 2x2 − 5x + 2 ]
 

Luego:

y2(x)y1(x)f(x)W(y1, y2)dx = (e−x)[−ex2( 2x2 − 5x + 2 ) ] = −12( 2x2 − 5x + 2 ) 

Finalmente:

yp(x) = −y1(x)y2(x)f(x)W(y1, y2)dx + y2(x)y1(x)f(x)W(y1, y2)dx

= −12( 2x2 + 3x ) − 12( 2x2 − 5x + 2 ) 

= −12( 4x2 − 2x + 2 )

= −2x2 + x − 1

y la solución completa de la ecuación diferencial d2ydx2 − y = 2x2 − x − 3 es

y = Aex + Be−x − 2x2 + x − 1

(Esta es la misma respuesta que obtuvimos en el Ejemplo 1 en la página Método de Coeficientes Indeterminados).

Ejemplo 3:  Resuelve d2ydx2 − 6dydx + 9y =1x


1. Encuentra la solución general de d2ydx2 − 6dydx + 9y = 0

La ecuación característica es: r2 − 6r + 9 = 0

Factoriza: (r − 3)(r − 3) = 0

r = 3

Entonces, la solución general de la ecuación diferencial es y = Ae3x + Bxe3x

Y así, en este caso, las soluciones fundamentales y sus derivadas son:

y1(x) = e3x

y1'(x) = 3e3x

y2(x) = xe3x

y2'(x) = (3x + 1)e3x

2. Calcula el Wronskiano:

W(y1, y2) = y1y2' − y2y1' = (3x + 1)e3xe3x − 3xe3xe3x = e6x

3. Encuentra la solución particular usando la fórmula:

yp(x) = −y1(x)y2(x)f(x)W(y1, y2)dx + y2(x)y1(x)f(x)W(y1, y2)dx

4. Resuelve las integrales:

y2(x)f(x)W(y1, y2)dx


= (xe3x)x−1 e6xdx   (Nota: 1x = x−1)

= e−3xdx

= −13e−3x

Por lo tanto:

−y1(x)y2(x)f(x)W(y1, y2)dx = −(e3x)(−13e−3x) = 13

Y ahora esta:

y1(x)f(x)W(y1, y2)dx


= e3xx−1e6xdx

= e−3xx−1dx

Esto no se puede integrar, por lo que este es un ejemplo en el que la respuesta debe dejarse como una integral.

Entonces:

y2(x)y1(x)f(x)W(y1, y2)dx = ( xe3x )( e−3xx−1dx ) = xe3xe−3xx−1dx

Finalmente:

yp(x) = −y1(x)y2(x)f(x)W(y1, y2)dx + y2(x)y1(x)f(x)W(y1, y2)dx

= 13 + xe3xe−3xx−1dx

Entonces la solución completa de la ecuación diferencial d2ydx2 − 6dydx + 9y = 1x es

y = Ae3x + Bxe3x + 13 + xe3xe−3xx−1dx

Ejemplo 4 (un ejemplo más difícil):  Resuelve d2ydx2 − 6dydx + 13y = 195cos(4x)


Este ejemplo usa las siguientes identidades trigonométricas

sin2(θ) + cos2(θ) = 1

sin⁡(θ ± φ) = sin(θ)cos(φ) ± cos(θ)sin(φ)

cos⁡(θ ± φ) = cos(θ)cos(φ) menos/más sin(θ)sin(φ)

sin(θ)cos(φ) = 12[sin⁡(θ + φ) + sin⁡(θ − φ)]
cos(θ)cos(φ) = 12[cos⁡(θ − φ) + cos⁡(θ + φ)]


1. Encuentra la solución general de d2ydx2 − 6dydx + 13y = 0

La ecuación característica es: r2 − 6r + 13 = 0

Usa la fórmula de la ecuación cuadrática

x = −b ± √(b2 − 4ac)2a

con a = 1, b = −6 y c = 13

Queda así:

r = −(−6) ± √[(−6)2 − 4(1)(13)] 2(1)

= 6 ± √[36−52] 2

= 6 ± √[−16] 2

= 6 ± 4i 2

= 3 ± 2i

De modo que α = 3 y β = 2

y = e3x[Acos(2x) + iBsin(2x)]

Y en este caso tenemos:

y1(x) = e3xcos(2x)

y1'(x) = e3x[3cos(2x) − 2sin(2x)]

y2(x) = e3xsin(2x)

y2'(x) = e3x[3sin(2x) + 2cos(2x)]

2. Calcula el Wronskiano:

W(y1, y2) = y1y2' − y2y1'

= e6xcos(2x)[3sin(2x) + 2cos(2x)] − e6xsin(2x)[3cos(2x) − 2sin(2x)]

= e6x[3cos(2x)sin(2x) +2cos2(2x) − 3sin(2x)cos(2x) + 2sin2(2x)]

=2e6x


3. Encuentra la solución particular usando la fórmula:

yp(x) = −y1(x)y2(x)f(x)W(y1, y2)dx + y2(x)y1(x)f(x)W(y1, y2)dx


4. Resuelve las integrales:

y2(x)f(x)W(y1, y2)dx


= e3xsin⁡(2x)[195cos⁡(4x)]2e6xdx 

= 1952e−3xsin(2x)cos(4x)dx

= 1954e−3x[sin(6x) − sin(2x)]dx    ...  (1)

En este caso, no haremos la integración todavía, por razones que se aclararán en un momento.

La otra integral es:

y1(x)f(x)W(y1, y2)dx

= e3xcos(2x)[195cos(4x)]2e6xdx

= 1952e−3xcos(2x)cos(4x)dx

= 1954e−3x[cos(6x) + cos(2x)]dx    ...  (2)


  
De las ecuaciones (1) y (2) vemos que hay cuatro integraciones muy similares que necesitamos realizar:

I1 = e−3xsin(6x)dx
I2 = e−3xsin(2x)dx
I3 = e−3xcos(6x)dx
I4 = e−3xcos(2x)dx

Cada una de estas se puede obtener usando Integración Por Partes dos veces, pero hay un método más fácil:

I1 = e−3xsin(6x)dx = −16e−3xcos(6x) − 36e−3xcos(6x)dx = − 16e−3xcos(6x) − 12I3

2I1 + I3 = − 13e−3xcos(6x)    ...  (3)

I2 = e−3xsin(2x)dx = −12e−3xcos(2x) − 32e−3xcos(2x)dx = − 12e−3xcos(2x) − 32I4

2I2 + 3I4 = − e−3xcos(2x)    ...  (4)

I3 = e−3xcos(6x)dx = 16e−3xsin(6x) + 36e−3xsin(6x)dx = 16e−3xsin(6x) + 12I1
2I3 I1 = 13e−3xsin(6x)    ...  (5)
I4 = e−3xcos(2x)dx = 12e−3xsin(2x) + 32e−3xsin(2x)dx = 12e−3xsin(2x) + 32I2

2I4 − 3I2 = e−3xsin(2x)    ...  (6)

Resuelve las ecuaciones (3) y (5) simultáneamente:

2I1 + I3 = − 13e−3xcos(6x)    ...  (3)

2I3 I1 = 13e−3xsin(6x)    ...  (5)

Multiplica la ecuación (5) por 2 y súmalas (el término I1 se neutralizará):

5I= − 13e−3xcos(6x) + 23e−3xsin(6x)

            = 13e−3x[2sin(6x) − cos(6x)]

I= 115e−3x[2sin(6x) − cos(6x)]

Multiplica la ecuación (3) por 2 y réstalas (el término I3 se neutralizará):

5I= − 23e−3xcos(6x) − 13e−3xsin(6x)

            = − 13e−3x[2cos(6x) + sin(6x)]

I= − 115e−3x[2cos(6x) + sin(6x)]

Resuelve las ecuaciones (4) y (6) simultáneamente:

2I2 + 3I4 = − e−3xcos(2x)    ...  (4)

2I4 − 3I2 = e−3xsin(2x)    ...  (6)

Multiplica la ecuación (4) por 3 y la ecuación (6) por 2 y suma (el término I2 se neutralizará):

13I= − 3e−3xcos(2x) + 2e−3xsin(2x)

            =e−3x[2sin(2x) − 3 cos(2x)]

I= 113e−3x[2sin(2x) − 3cos(2x)]

Multiplica la ecuación (4) por 2 y la ecuación (6) por 3 y resta (el término I4 se neutralizará):

13I= − 2e−3xcos(2x) − 3e−3xsin(2x)

            =− e−3x[2cos(2x) + 3 sin(2x)]

I= − 113e−3x[2cos(2x) + 3sin(2x)]

Sustituye en (1) y (2):

y2(x)f(x)W(y1, y2)dx

= 1954e−3x[sin(6x) − sin(2x)]dx   ... (1)  

= 1954[ 115e−3x[2cos(6x) + sin(6x)] − [−113e−3x[2cos(2x) + 3sin(2x)]]]

= e−3x4[−13(2cos(6x)+sin(6x))+15(2 cos⁡(2x)+3sin(2x))]

y1(x)f(x)W(y1, y2)dx

= 1954e−3x[cos(6x) + cos(2x)]dx    ...  (2)

= 1954[115e−3x[2sin(6x) − cos(6x)] + 113e−3x[2sin(2x) − 3cos(2x)]]

= e−3x4[13(2sin(6x) − cos(6x)) + 15(2sin⁡(2x) − 3cos(2x))]

Por lo que yp(x) = −y1(x)y2(x)f(x)W(y1, y2)dx + y2(x)y1(x)f(x)W(y1, y2)dx

= − e3xcos(2x)e−3x4[−13(2cos(6x)+sin(6x)) + 15(2 cos⁡(2x)+3sin(2x))] + e3xsin(2x)e−3x4[13(2sin(6x) − cos(6x)) + 15(2sin⁡(2x) − 3cos(2x))]

= − 14cos(2x) [−13(2cos(6x) − sin(6x)) + 15(2 cos⁡(2x) + 3sin(2x))] +14 sin⁡(2x)[13(2sin(6x) − cos(6x)) + 15(2 sin⁡(2x) − 3cos(2x))]  

= 14[26cos(2x)cos(6x) + 13cos(2x)sin(6x) − 30cos2(2x) − 45cos(2x)sin(2x) + 26sin(2x)sin(6x) − 13sin(2x)cos(6x) + 30sin2(2x) − 45sin(2x)cos(2x)]

= 14[26[cos(2x)cos(6x) + sin(2x)sin(6x)] + 13[cos(2x)sin(6x) − sin(2x)cos(6x)] − 30[cos2(2x) − sin2(2x)] − 45[cos(2x)sin(2x) + sin(2x)cos(2x)]]

= 14[26cos(4x) + 13sin(4x) − 30cos(4x) − 45sin(4x)]

= 14[−4cos(4x) − 32sin(4x)]

= −cos⁡(4x) − 8 sin⁡(4x)

Entonces la solución completa de la ecuación diferencial d2ydx2 − 6dydx + 13y = 195cos(4x) es

y = e3x(Acos(2x) + iBsin(2x)) − cos(4x) − 8sin(4x)

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).