Determinante de una Matriz

El determinante de una matriz es un número especial que se puede calcular a partir de una matriz cuadrada.

Una matriz es un arreglo de números:

Una matriz
Una Matriz
(Ésta tiene 2 filas y 2 columnas)

El determinante de esa matriz es (los cálculos se explican más adelante):

3×6 − 8×4 = 18 − 32 = −14

¿Para qué sirve?

El determinante nos dice cosas sobre la matriz que son útiles en sistemas de ecuaciones lineales, nos ayuda a encontrar la matriz inversa, tiene aplicaciones en cálculo, etc.

Símbolo

El símbolo para determinante consiste en dos líneas verticales a cada lado.

Ejemplo:

|A| significa el determinante de la matriz A

(Exactamente el mismo símbolo que el valor absoluto.)

Cálculo del determinante

En primer lugar, la matriz debe ser cuadrada (es decir, tener el mismo número de filas que columnas). Luego es solo aritmética básica. Aquí se muestra cómo:

Para una matriz 2×2

Para una matriz de 2 × 2 (2 filas y 2 columnas):

una matriz

El determinante es:

|A| = ad − bc
"El determinante de A es igual a a por d menos b por c"

Es fácil recordar cuando piensas en una cruz:

  • El azul es positivo (+ad),
  • Rojo es negativo (−bc)
  cruz diagonal en una matriz

Ejemplo:

una matriz

|B|= 4×8 − 6×3
 = 32−18
 = 14

 

Para una matriz 3×3

Para una matriz de 3 × 3 (3 filas y 3 columnas):

una matrix 3x3

El determinante es:

|A| = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
"El determinante de A es igual a ... etc."

Puede parecer complicado, pero hay un patrón:

operaciones con matrices

Para calcular el determinante de una matriz 3×3:

Como fórmula (recuerda que las barras verticales || significan "determinante de"):

A Matrix
"El determinante de A es igual a a por el determinante de ... etc."

Ejemplo:

una matriz

|C|= 6×(−2×7 − 5×8) − 1×(4×7 − 5×2) + 1×(4×8 − (−2×2))
 = 6×(−54) − 1×(18) + 1×(36)
 = −306

Para matrices de 4×4 en adelante

El patrón continúa para matrices 4×4:

operaciones con matrices

Como fórmula:

matrices

Observa el patrón +−+− (+a... b... +c... d...). Esto es importante para recordar.

 

El patrón continúa para matrices de 5×5 y superiores. Por lo general, ¡es mejor usar una Calculadora de Matrices para ésas!

 

No es el único camino

Este método de cálculo se llama "Expansión de Laplace" y me gusta porque el patrón es fácil de recordar. Pero hay otros métodos (solo para que lo sepas).

Resumen

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).