Guía Para Resolver Ecuaciones Diferenciales
Una Ecuación Diferencial es una ecuación con una función y una o más de sus derivadas:
Ejemplo: una ecuación con la función y y su derivada dy dx
En nuestro mundo las cosas cambian, y describir cómo cambian
a menudo termina expresándose mediante una Ecuación Diferencial.
Los ejemplos del mundo real donde se utilizan Ecuaciones Diferenciales
incluyen el crecimiento de la población, la electrodinámica, el flujo
del calor, el movimiento planetario, los sistemas económicos y mucho
más.
Resolver
Como se comentó, una Ecuación Diferencial puede ser una forma muy natural de describir algo.
Ejemplo: Crecimiento poblacional
Aquí decimos que una población "N" cambia (en cualquier instante) en función de la tasa de crecimiento multiplicada por la población en ese instante:
dNdt = rN
Pero no es muy útil tal como está.
¡Necesitamos resolverla!
La resolvemos cuando descubrimos la función y (o el
conjunto de funciones y) que satisface la ecuación.
Ejemplo: (continuación)
Nuestro ejemplo se resuelve con esta ecuación:
N(t) = N0ert
que en realidad se puede usar así:Una población que comienza en 1000 (N0) con una tasa de crecimiento del 10% por mes (r) crecerá hasta
- 1000e0.1x1 = 1105 en 1 mes
- 1000e0.1x6 = 1822 en 6 meses
- etc.
No existe una fórmula mágica para resolver todas las Ecuaciones Diferenciales.
Pero a lo largo de los milenios, las grandes mentes se han
basado en el trabajo de las demás y han descubierto diferentes métodos
(¡posiblemente largos y complicados!) para resolver algunos tipos
de Ecuaciones Diferenciales.
Así que echemos un vistazo a algunos de los diferentes tipos de Ecuaciones Diferenciales y cómo resolverlos.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
tal que existe cierta función I(x,y) cuyas derivadas parciales se pueden poner en lugar de M y N, así:
∂I∂xdx + ∂I∂ydy = 0
Separación de Variables
La separación de Variables se puede usar cuando:
se pueden mover todos los términos y (incluido dy) a un lado de
la ecuación y
todos los términos x (incluido dx) al otro lado.
Si ese es el caso, tendrás que integrar y simplificar la solución.
Lee más sobre Separación de Variables
Lineales de Primer Orden
Una ecuación diferencial de primer orden es lineal cuando se puede hacer que tenga este aspecto:
dy dx + P(x)y = Q(x)
Donde P(x) y Q(x) son funciones de x.
Observa que son de "Primer Orden" cuando solo hay dy dx , no d2y dx2 ni d3y dx3 , etc.
Si tienes una ecuación como esta, puedes leer más en Solución de Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden
Nota: Las ecuaciones diferenciales no lineales son a menudo más difíciles de resolver y, por lo tanto, comúnmente se aproximan mediante ecuaciones diferenciales lineales para encontrar una solución más fácil.Ecuaciones Homogéneas
Hay otro tipo especial de ecuaciones en las que se puede utilizar la
separación de variables, las homogéneas.
Se dice que una ecuación diferencial de primer orden es homogénea si se
puede escribir en la forma
dy dx = F ( y x )
Dicha ecuación se puede resolver utilizando el cambio de variables:
v = y x
el cual transforma la ecuación en una que es separable. Para descubrir más sobre este tipo de ecuaciones, consulta esta guía completa sobre Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
Ecuación de Bernoulli
Una ecuación de Bernoulli tiene esta forma:
dydx
+ P(x)y = Q(x)yn
donde n es cualquier número real excepto 0 o 1
- Cuando n = 0 la ecuación se puede resolver como una Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden.
- Cuando n = 1 la ecuación se puede resolver mediante Separación de Variables.
- Para otros valores de n podemos resolverla sustituyendo
u = y1−ny convertirla en una ecuación diferencial lineal (y luego resolver eso).
Mira ejemplos y aprende más sobre la Ecuación de Bernoulli
Ecuaciones de Segundo Orden
En este tipo de ecuaciones aparece la segunda derivada.a(x)d2y dx2 + b(x)dy dx + c(x)y = Q(x)
Hay muchos casos distintivos entre estas
ecuaciones.
Se clasifican en homogéneas (Q(x) = 0), no homogéneas, autónomas,
coeficientes constantes, coeficientes indeterminados, etc.
Para ecuaciones no homogéneas, la solución general es igual a
la suma de:
Solución a la ecuación homogénea correspondiente
+
Solución particular de la ecuación no homogénea
Aprende más sobre este tipo de ecuaciones
Coeficientes indeterminados
Este método funciona para una ecuación no homogénea como
d2ydx2 + P(x)dydx + Q(x)y = f(x)
donde f(x) es un polinomio, una exponencial, seno, coseno o una combinación lineal de esas.Para simplificar las cosas, solo miramos el caso:
d2ydx2 + pdydx + qy = f(x)
donde p y q son constantes.
La solución completa a tal ecuación se puede encontrar combinando dos tipos de solución:
- La solución general de la ecuación homogénea
- Soluciones particulares de la ecuación no homogénea
d2ydx2 + pdydx + qy = 0
d2ydx2 + pdydx + qy = f(x)
Una vez que hemos encontrado la solución general y todas las
soluciones particulares, entonces la solución final completa se
encuentra sumando todas las soluciones.
¡Este método también implica adivinar! Lee más en Coeficientes
Indeterminados
Variación de Parámetros
Este es un método más general que los coeficientes indeterminados.
Una vez que tengas la solución general de la ecuación homogénea,
tienes dos soluciones fundamentales y1 y y2
Y cuando y1 y y2 son las dos soluciones
fundamentales de la ecuación homogénea
d2ydx2 + pdydx + qy = 0
luego se calcula el Wronskiano W(y1, y2), que es el determinante de una matriz
Así:
W(y1, y2) = y1y2' − y2y1'
Y después de calcular el wronskiano ahora podemos encontrar la solución particular de la ecuación diferencial
d2ydx2 + pdydx + qy = f(x)
usando la fórmula
yp(x) = −y1(x)∫y2(x)f(x)W(y1,y2)dx + y2(x)∫y1(x)f(x)W(y1,y2)dx
Finalmente completamos la solución sumando la solución general y la
solución particular.
Puedes obtener más información sobre esto en Variación
de Parámetros
Ecuaciones exactas y factores integrantes
Una ecuación "exacta" es donde una ecuación diferencial de primer orden como esta:
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
tiene una cierta función I(x,y) cuyas derivadas parciales se pueden poner en lugar de M y N, así:
∂I∂xdx + ∂I∂ydy = 0
y nuestro trabajo es encontrar esa función mágica I(x, y) si es que
existe.
Descubre cómo solucionarlas en Ecuaciones
Exactas y Factores Integrantes
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) vs Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP)
Todos los métodos hasta ahora sirven para resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO).
El término ordinario se usa en contraste con el término parcial para indicar derivadas con respecto a una sola variable independiente.
Se llaman Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP), y lo siento pero aún no tenemos ninguna página sobre este tema.