Propiedades de las Desigualdades
La desigualdad nos dice sobre el tamaño relativo de dos valores.
(Puede que primero quieras leer una pequeña Introducción a las Desigualdades)
Las 4 desigualdades
| Símbolo | Palabras | Ejemplo |
|---|---|---|
| > | mayor que | x+3 > 2 |
| < | menor que | 7x < 28 |
| ≥ | mayor o igual que | 5 ≥ x−1 |
| ≤ | menor o igual que | 2y+1 ≤ 7 |
El símbolo "apunta" al valor más pequeño
Propiedades
Las desigualdades tienen propiedades ... ¡todas con nombres especiales!
Aquí enumeramos cada una, con ejemplos.
Nota: los valores a, b y c que usamos a continuación son Números Reales.
Propiedad transitiva
Cuando vinculamos desigualdades en orden, podemos "saltar" la desigualdad del medio.
Si a < b y b < c, entonces a < c
Del mismo modo:
Si a > b y b > c, entonces a > c
Ejemplo:
- Si Alex es mayor que Brenda y
- Brenda es mayor que Carlos,
¡entonces Alex también debe ser mayor que Carlos!
Propiedad de reversión
Podemos intercambiar a y b si nos aseguramos de que el símbolo siga "apuntando" al valor más pequeño.
- Si a > b entonces b < a
- Si a < b entonces b > a
Ejemplo: Alex es mayor que Brenda, así que Brenda es más joven que Alex
Ley de tricotomía
La "Ley de tricotomía" dice que solo una de las siguientes es verdadera:
Tiene sentido, ¿verdad? a debe ser menor que b, igual a b o mayor que b. Debe ser una de esas, y solo una de esas.
Ejemplo: Alex tiene más dinero que Brenda
Lo podríamos escribir así:
a > b
Entonces también sabemos que:
- Alex no tiene menos dinero que Brenda (no a<b)
- Alex no tiene la misma cantidad de dinero que Brenda (no a=b)
(¡Por supuesto!)
Suma y resta
Sumar c a ambos lados de una desigualdad simplemente desplaza todo, y la desigualdad permanece igual.
Si a < b, entonces a + c < b + c
Ejemplo: Alex tiene menos dinero que Brenda.
Si tanto Alex como Brenda reciben $3 más, entonces Alex seguirá teniendo menos dinero que Brenda.
Del mismo modo:
- Si a < b, entonces a − c < b − c
- Si a > b, entonces a + c > b + c, y
- Si a > b, entonces a − c > b − c
Por lo tanto, sumar (o restar) el mismo valor a a y a b no cambiará la desigualdad
Multiplicación y división
Cuando multiplicamos tanto a como b por un número positivo, la desigualdad permanece igual.
Pero cuando multiplicamos tanto a como b por un número negativo, ¡la desigualdad se invierte!
Observa que a<b se convierte en b<a después de multiplicar por −2
Pero la desigualdad permanece igual al multiplicar por +3
Estas son las reglas:
- Si a < b, y c es positivo, entonces ac < bc
- Si a < b, y c es negativo, entonces ac > bc (¡la desigualdad se invierte!)
Un ejemplo "positivo":
Ejemplo: la puntuación de Alex de 3 es menor que la puntuación de Brenda de 7.
a < b
Si tanto Alex como Brenda logran duplicar sus puntuaciones (×2), la puntuación de Alex seguirá siendo menor que la puntuación de Brenda.
2a < 2b
Pero al multiplicar por un número negativo sucede lo contrario:
Pero si las puntuaciones se vuelven negativas, entonces Alex pierde 3 puntos y Brenda pierde 7 puntos
¡Así que ahora a Alex le ha ido mejor que a Brenda!
−a > −b
¿Por qué multiplicar por un negativo invierte el signo?
Bueno, ¡solo mira la recta numérica!
Por ejemplo, de −3 a −7 es una disminución, pero de 3 a 7 es un aumento.
Por lo tanto, el signo de la desigualdad se invierte (de < a >)
Inverso aditivo
Como acabamos de ver, poner un signo menos delante de a y b cambia la dirección de la desigualdad. Esto se llama el "Inverso aditivo":
- Si a < b entonces −a > −b
- Si a > b entonces −a < −b
Esto es realmente lo mismo que multiplicar por (-1), y por eso cambia de dirección.
Ejemplo: Alex tiene más dinero que Brenda, y por eso Alex va ganando.
Pero una nueva ley dice que "todo tu dinero es ahora una deuda que debes pagar con trabajo duro".
Así que ahora Alex está peor que Brenda.
Inverso multiplicativo
Tomar el recíproco (1/valor) de tanto a como b puede cambiar la dirección de la desigualdad.
Cuando a y b son ambos positivos o ambos negativos:
- Si a < b entonces 1/a > 1/b
- Si a > b entonces 1/a < 1/b
Ejemplo: Alex y Brenda completan un trayecto de 12 kilómetros.
Alex corre a 6 km/h y Brenda camina a 4 km/h.
La velocidad de Alex es mayor que la velocidad de Brenda
6 > 4
Pero el tiempo de Alex es menor que el tiempo de Brenda:
12/6 < 12/4
2 horas < 3 horas
Pero cuando a o b es negativo (no ambos), la dirección permanece igual:
- Si a < b entonces 1/a < 1/b
- Si a > b entonces 1/a > 1/b
Ejemplo: a = +7 y b = −3
a > b, y uno de ellos es negativo, así que:
1+7 > 1−3
17 > −13
Propiedad no negativa de los cuadrados
El cuadrado de un número es mayor o igual a cero:
a2 ≥ 0
Ejemplo:
- (3)2 = 9
- (−3)2 = 9
- (0)2 = 0
Siempre mayor que (o igual a) cero.
Propiedad de la raíz cuadrada
Calcular la raíz cuadrada no cambiará la desigualdad (pero solo cuando tanto a como b son mayores o iguales a cero).
Si a ≤ b entonces √a ≤ √b
(para a,b ≥ 0)
Ejemplo: a=4, b=9
- 4 ≤ 9 por lo que √4 ≤ √9