Fracciones Parciales

Una forma de "romper" fracciones con polinomios en ellas.

¿Qué son las fracciones parciales?

Podemos hacer esto directamente:

Fracciones parciales

Así:

2 x−2 + 3 x+1 = 2(x+1) + 3(x−2) (x−2)(x + 1)

Lo cual puede simplificarse usando Expresiones Racionales. Queda así:

= 2x+2 + 3x−6 x2+x−2x−2

= 5x−4 x2−x−2

 

... pero ¿cómo le hacemos para ir en la dirección opuesta?

Fracciones parciales

Eso es lo que vamos a descubrir:

Cómo encontrar las "partes" que forman la fracción simple
(las "fracciones parciales").

¿Por qué las queremos?

Antes que nada ... ¿por qué las queremos?

Porque las fracciones parciales son cada una más simples.

Esto puede ayudar a resolver la fracción más complicada. Por ejemplo, es muy útil en Cálculo Integral.

Descomposición en fracciones parciales

Déjame mostrarte cómo hacerlo.

El método se llama "Descomposición en fracciones parciales" y es así:

Paso 1: Factoriza lo de abajo

Fracciones Parciales

Paso 2: Escribe una fracción parcial para cada uno de esos factores

Fracciones Parciales

Paso 3: Multiplica todo por lo de abajo para que ya no tengamos fracciones

5x-4 = A_1(x+1) + A_2(x-2)

Paso 4: Ahora encuentra las constantes A1 y A2

Sustituir las raíces (los "ceros") de (x−2)(x+1) puede ayudar:

Fracciones Parciales

Y tenemos nuestra respuesta:

Fracciones Parciales

 

 

¡Eso fue fácil! ... casi demasiado fácil ...

... ¡porque puede ser mucho más difícil!

Ahora entraremos en detalles en cada paso.

Expresiones racionales propias

En primer lugar, esto solo funciona para Expresiones Racionales Propias, donde el grado de la parte superior es menor que la parte inferior.

El grado es el mayor exponente que tiene la variable.

Si la expresión es impropia, entonces utiliza primero la división larga de polinomios.

Factorizando el denominador

Depende de ti factorizar el polinomio inferior. Lee Factorizando en Álgebra.

Pero no factorices utilizando números complejos ... es posible que debas detener algunos factores en cuadráticos (llamados cuadráticos irreducibles porque cualquier factorización adicional conduce a números complejos):

Ejemplo: (x2−4)(x2+4)

  • x2−4 puede factorizarse en (x−2)(x+2)
  • Pero x2+4 se factoriza en números complejos, así que no lo hagas

 

Así que lo mejor que podemos hacer es:

(x−2)(x+2)(x2+4)

 

Entonces los factores podrían ser una combinación de
Cuando tienes un factor cuadrático, debes incluir esta fracción parcial:

B1x + C1(tu cuadrático)

Factores con exponentes

A veces puedes obtener un factor con un exponente, como (x−2)3 ...

Necesitas una fracción parcial para cada exponente de 1 en adelante.

Así:

Ejemplo:

1(x−2)3

Tiene fracciones parciales

A1x−2 + A2(x−2)2 + A3 (x−2)3

Lo mismo también le puede pasar a las cuadráticas:

Ejemplo:

1(x2+2x+3)2

Tiene fracciones parciales:

B1x + C1x2+2x+3 + B2x + C2(x2+2x+3)2

 

A veces, el uso de raíces no lo resuelve

Incluso después de usar las raíces (ceros) del denominador, puedes terminar con constantes desconocidas.

Entonces, el siguiente paso es:

Reúne todos las potencias de x y luego resuélvelos como sistema de ecuaciones lineales.

 

¡Cielos! ¡Eso es mucho para digerir! Entonces, sigue con un ejemplo para ayudarte a entender:

Un gran ejemplo reuniéndolo todo

¡Aquí hay un gran ejemplo para ti!

x2+15(x+3)2 (x2+3)

x2+15(x+3)2(x2+3)  =  A1x+3 + A2(x+3)2 + Bx + Cx2+3

Ahora multiplícalo todo por (x+3)2(x2+3):

x2+15 = (x+3)(x2+3)A1 + (x2+3)A2 + (x+3)2(Bx + C)

Hay un cero en x = −3 (porque x+3=0), así que intentemos eso:

(−3)2+15 = 0 + ((−3)2+3)A2 + 0

Y simplifiquémoslo a:

24 = 12A2

así que A2=2

Reemplacemos A2 con 2:

x2+15 = (x+3)(x2+3)A1 + 2x2+6 + (x+3)2(Bx + C)

Ahora desarrolla todo:

x2+15 = (x3+3x+3x2+9)A1 + 2x2+6 + (x3+6x2+9x)B + (x2+6x+9)C

Junta las potencias de x:

x2+15 = x3(A1+B)+x2(3A1+6B+C+2)+x(3A1+9B+6C)+(9A1+6+9C)

Separa las potencias y escribe un Sistema de Ecuaciones Lineales:

x3:   0 = A1+B
x2:   1 = 3A1+6B+C+2
x:   0 = 3A1+9B+6C
Constantes:   15 = 9A1+6+9C

Simplifica y organiza perfectamente:

0 = A1 + B    
−1 = 3A1 + 6B + C
0 = 3A1 + 9B + 6C
1 = A1     + C

Ahora resuelve.

Puedes elegir tu propia forma de resolver esto ... Yo decidí restar la cuarta ecuación de la segunda para comenzar con:

0 = A1 + B    
−2 = 2A1 + 6B    
0 = 3A1 + 9B + 6C
1 = A1     + C

Luego resto 2 veces la primera ecuación de la segunda:

0 = A1 + B    
−2 =     4B    
0 = 3A1 + 9B + 6C
1 = A1     + C

Y ahora sé que B = −(1/2).

¡Estamos avanzando!

Y de la primera ecuación puedo deducir que A1 = +(1/2).

Y de la cuarta ecuación puedo deducir que C = +(1/2).

Resultado final:

A1=1/2 A2=2 B=−(1/2) C=1/2

 

Y ahora podemos escribir nuestras fracciones parciales:

x2+15 (x+3)2(x2+3)   =   1 2(x+3) + 2 (x+3)2 + −x + 1 2(x2+3)

¡Uf! Mucho trabajo. Pero puede hacerse.

Resumen

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).

Mathopolis:Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10