Puntos Críticos
También llamados "Puntos Estacionarios"
En una función que cambia suavemente, un punto crítico es un punto donde la función deja de aumentar o disminuir:
Puede ser un:
- Máximo Local: donde el valor de la función es más alto que en puntos cercanos, como la cima de una colina.
- Mínimo Local: donde el valor de la función es más bajo que en puntos cercanos, como el fondo de un valle.
- Punto de Silla: donde se aplana en una ladera que sube (o baja).
¿Dónde se aplana? Donde la pendiente es cero.
¿Dónde es cero la pendiente? Donde la derivada es cero
Vamos a meternos de lleno en un ejemplo:
Ejemplo: Una pelota es lanzada al aire. Su
altura en cualquier momento t está dada por:
h = 3 + 14t − 5t2
¿Cuál es su altura máxima?
Usando derivadas podemos encontrar la pendiente de esa función:
h' = 0 + 14 − 5(2t)
= 14 − 10t
(Mira debajo de este ejemplo para saber cómo encontramos esa derivada).
Ahora encuentra cuando la pendiente es cero:
La pendiente es cero en t = 1.4 segundos
Y la altura en ese momento es:
Así que:
La altura máxima es 12.8 m (en t = 1.4 s)
Un Rápido Repaso de Derivadas
Una derivada básicamente encuentra la pendiente de una función.
En el ejemplo anterior empezamos con:
h = 3 + 14t − 5t2
y obtuvimos esta derivada:
h' = 0 + 14 − 5(2t)
= 14 − 10t
esta es la pendiente de la función en cualquier momento t
Usando estas Reglas de Derivadas:
- La pendiente de un valor constante (como 3) es 0
- La pendiente de una línea como 2x es 2, por lo que 14t tiene una pendiente de 14
- Una función cuadrática como t2 tiene una pendiente de 2t, por lo que 5t2 tiene una pendiente de 5(2t)=10t
- Y luego las sumamos: 0 + 14 − 10t
¿Qué tipo de punto crítico es?
Lo vimos en el gráfico, ¡era un Máximo!
Pero si no lo viéramos gráficamente, las derivadas vienen al rescate de nuevo.
Toma la derivada de la pendiente (la segunda derivada de la función original):
La derivada de 14 − 10t es −10
Esto significa que la pendiente se hace continuamente más pequeña (−10): al viajar de izquierda a derecha, la pendiente comienza siendo positiva (la función sube), pasa por cero (el punto plano), y luego se vuelve negativa (la función baja):
Una pendiente que se hace más pequeña (y pasa por 0) significa un
máximo.
Esto se llama la Prueba de la Segunda Derivada
En el gráfico anterior mostré la pendiente antes y después, pero en la práctica hacemos la prueba en el punto donde la pendiente es cero:
Prueba de la Segunda Derivada
Cuando la pendiente de una función es cero en x, y la segunda derivada en x es:
- menor que 0, es un máximo local
- mayor que 0, es un mínimo local
- igual a 0, entonces la prueba falla (aunque puede haber otras formas de averiguarlo)
Ejemplo: Encuentra los máximos y mínimos para:
y = 5x3 + 2x2 − 3x
La derivada (pendiente) es:
y' = 15x2 + 4x − 3
Es cuadrática.
Podemos usar el Solucionador de Ecuaciones Cuadráticas para encontrar que es cero en:
- x = −3/5
- x = +1/3
¿Podrían ser máximos o mínimos? (¡No mires el gráfico todavía!)
La segunda derivada es y'' = 30x + 4
En x = −3/5:
En x = +1/3:
(Ahora puedes mirar el gráfico.)
Pasos
- Encuentra la derivada de la función f'(x). Esto representa la pendiente de la función.
- Resuelve la ecuación de la derivada f'(x) = 0 para encontrar los valores de x donde la función es cero (los puntos estacionarios).
- Toma la derivada nuevamente para obtener la segunda derivada f''(x): menor que 0 es un máximo, mayor que 0 es un mínimo, exactamente 0 necesita más pruebas para determinarlo.
Ejemplo: La parábola f(x) = −x2 + 4x
- La derivada de esta función es f'(x) = −2x + 4
- Resuelve la ecuación de la derivada f'(x) = −2x + 4 = 0, y obtenemos x = 2
- Toma la segunda derivada f''(x) = −2, que es siempre negativa, por lo que es un máximo local
Hay un máximo local en x = 2
Un ejemplo más
Ejemplo: Encuentra los máximos y mínimos para:
y = x3 − 6x2 + 12x − 5
La derivada es:
Así que queremos resolver:
Es una ecuación cuadrática. Podemos resolverla usando el Solucionador de Ecuaciones Cuadráticas para obtener solo un cero en x = 2
¿Es un máximo o un mínimo?
La segunda derivada es y'' = 6x − 12
En x = 2:
Y aquí está la razón:
Es un punto de inflexión ("punto de silla") ... la pendiente se vuelve cero, pero no es ni un máximo ni un mínimo.
Debe ser diferenciable
Y hay un punto técnico importante:
La función debe ser diferenciable (la derivada debe existir en cada punto de su dominio).
Ejemplo: ¿Qué tal la función f(x) = |x| (valor absoluto)?
| |x| se ve así: |  |
¡En x=0 tiene un punto puntiagudo!
De hecho, no es diferenciable ahí (como se muestra en la página de diferenciabilidad).
Así que no podemos usar el método de derivadas para la función de valor absoluto.
La función también debe ser continua, pero cualquier función que sea diferenciable también es continua, así que estamos cubiertos.
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
