Rango de una Matriz

El rango indica cuántas de las filas son "únicas": es decir, que no están hechas de otras filas. (Lo mismo para las columnas).

Ejemplo: Esta matriz

1
2
3
3
6
9

La segunda fila es simplemente 3 veces la primera fila. Solo una copia inútil. No cuenta.

Entonces, aunque hay 2 filas, el rango es solo 1.

 

¿Qué hay de las columnas? La segunda columna es solo dos veces la primera columna. Y la tercera columna es tres veces la primera (ó 1.5 veces la segunda), por lo que tampoco cuenta.

Entonces las columnas también nos muestran que el rango es solo 1.

Ejemplo: Esta matriz

1
2
3
0
2
2
1
4
5

La segunda fila no está hecha de la primera fila, por lo que el rango es al menos 2.

¿Pero qué hay de la tercera fila? Es la primera y la segunda sumadas, por lo que no cuenta.

Entonces, aunque hay 3 filas, el rango es solo 2.

 

¿Qué hay de las columnas? La segunda columna está bien, pero la columna 3 son las columnas 1 y 2 sumadas.

Entonces las columnas también nos muestran que el rango es solo 2.

Ejemplo: Esta matriz

1
2
3
0
2
2
1
−2
−1

La segunda fila no está hecha de la primera fila, por lo que el rango es al menos 2.

La tercera fila se ve bien, pero después de examinarla encontramos que es la primera fila menos dos veces la segunda fila. ¡Furtivo! Entonces el rango es solo 2.

Y para las columnas: en este caso, la columna 3 son las columnas 1 y 2 sumadas. Entonces las columnas también nos muestran que el rango es 2.

Ejemplo: Esta matriz identidad

1
0
0
0
1
0
0
0
1

¡Todas las filas son individuos fuertes e independientes, que no dependen de otros para su existencia! Entonces el rango es 3.

Y exactamente lo mismo para las columnas, por lo que también nos dicen que el rango es 3.
De hecho, las filas y columnas siempre coinciden en el rango (¡increíble pero cierto!).

Cuando hablamos de filas aquí, también podemos decir lo mismo de las columnas.

Entonces, realmente no necesitamos resolver ambos.

¿Por qué encontrar el rango?

El rango nos dice mucho sobre la matriz.

Es útil para informarnos si tenemos la posibilidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales: cuando el rango es igual al número de variables, podemos encontrar una solución única.

Ejemplo: manzanas y plátanos

Si sabemos que

  • 2 manzanas y 3 plátanos cuestan $7
  • 3 manzanas y 3 plátanos cuestan $9

Entonces podemos descubrir que la manzana extra debe costar $2, y entonces los plátanos cuestan $1 cada uno.

(Hay 2 variables y el rango también es 2).

 
Pero si solo sabemos esto

  • 2 manzanas y 3 plátanos cuestan $7
  • 4 manzanas y 6 plátanos cuestan $14

No podemos ir más allá porque la segunda fila de datos es solo dos veces la primera y no nos da información nueva. (Hay 2 variables y el rango es solo 1.)

También tiene usos en comunicación, estabilidad de sistemas y más.

Dependencia lineal

En lugar de "no está hecha de", decimos que son linealmente independientes, lo cual es una idea importante.

Lineal significa que podemos multiplicar por una constante, pero sin potencias u otras funciones. La constante puede ser cualquier número real (0, 1, cualquier número entero, fracción, negativos, etc.).

Dependencia significa que dependen unos de otros, en otras palabras, podemos sumar algunos (después de multiplicar por una constante) para hacer otro.

Imagina que son vectores (tienen dirección y magnitud). ¿Podemos combinar los otros vectores (estirados o encogidos según sea necesario) para obtener el mismo resultado?

Dependencia lineal
c = a + 2b,
entonces c es linealmente dependiente de a y b

También ten en cuenta que:

Pensando solo en a y b: en realidad podemos llegar a cualquier parte del plano usando esos dos vectores:

Espacio generado por la dependencia lineal
Los vectores a y b generan todo el plano.

Cuando los vectores son linealmente independientes y abarcan todo un espacio, decimos que son una "base" de ese espacio.

Entonces a y b son una base del plano 2D.

Nota: espacio es un término general que abarca 1, 2, 3 o dimensiones superiores, pero a menudo llamamos plano al espacio 2D.

Entonces a y b son tan útiles como los ejes x, y. Y lo mismo podría decirse de cualesquiera 2 vectores linealmente independientes en el plano 2D.

El par más básico de vectores linealmente independientes son (1,0) y (0,1) que forman la matriz identidad 2x2:
1
0
0
1

Ellos esencialmente hacen los conocidos ejes x y y:

Dependencia lineal x e y

Y en 3D:

1
0
0
0
1
0
0
0
1

Dependencia lineal xyz

Y en 4D:

1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1

OK, eso es un poco difícil de ilustrar, ¡pero los números funcionan bien hasta tantas dimensiones como desees!

Cómo encontrar el rango

Por lo general, es mejor usar software para encontrar el rango, hay algoritmos que juegan con las filas y columnas para calcularlo. Pero en algunos casos podemos resolverlo nosotros mismos.

Para una matriz cuadrada el determinante puede ayudar: un determinante distinto de cero nos dice que todas las filas (o columnas) son linealmente independientes, por lo que es de "rango completo" y su rango es igual al número de filas.

Ejemplo: ¿Son estos vectores 4D linealmente independientes?

1
2
3
4
0
2
2
0
1
0
3
0
0
1
0
4

El determinante es (usando la Calculadora de Matrices):

1(2(3×4-0×0)-2(0×4-0×1)+0(0×0-3×1))-2(0(3×4-0×0)-2(1×4-0×0)+0(1×0-3×0))+3(0(0×4-0×1)-2(1×4-0×0)+0(1×1-0×0))-4(0(0×0-3×1)-2(1×0-3×0)+2(1×1-0×0)) = 8

El determinante es distinto de cero, por lo que todos deben ser linealmente independientes.

Entonces es rango completo, y el rango es 4.

De modo que sabemos que en realidad es una base para el espacio 4D: usando estos 4 vectores podemos abarcar todo el espacio 4D.

Un gran ejemplo donde las matemáticas nos pueden decir algo que no podemos imaginar fácilmente.

Otras propiedades

El rango no puede ser mayor que la dimensión más pequeña de la matriz.

Ejemplo: para una matriz de 2×4 el rango no puede ser mayor que 2

Cuando el rango es igual a la dimensión más pequeña, se llama "rango completo", un rango más pequeño se llama "rango deficiente".

El rango es al menos 1, excepto por la matriz cero (una matriz hecha de todos los ceros) cuyo rango es 0.

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).