Resolviendo Desigualdades Cuadráticas

... y más ...

Cuadrática

Una Ecuación Cuadrática (en Forma Estándar) se ve así:

Ecuación Cuadrática
Una ecuación cuadrática en forma estándar
(a, b y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.)


La anterior es una ecuación (=) pero a veces necesitamos resolver desigualdades como éstas:

Símbolo
 
Significado
 
Ejemplo





>
 
mayor que
 
x2 + 3x > 2
<
 
menor que
 
7x2 < 28
 
mayor o igual que
 
5 ≥ x2 − x
 
menor o igual que
 
2y2 + 1 ≤ 7y





Resolviendo

Resolver desigualdades es muy parecido a resolver ecuaciones ... hacemos la mayoría de las mismas cosas.

Al resolver ecuaciones tratamos de encontrar puntos,
"como los señalados "=0"
Gráfica de una desigualdad
Pero cuando resolvemos desigualdades, tratamos de encontrar intervalo (o intervalos),
tales como los señalados como ">0" ó "<0"

Entonces esto es lo que hay que hacer:

Aquí hay un ejemplo:

Ejemplo: x2 − x − 6 < 0

x2 − x − 6 tiene factores simples (¡porque quería hacerlo fácil!):

(x+2)(x−3) < 0

 

En primer lugar, vamos a encontrar dónde es igual a cero:

(x+2)(x−3) = 0

Es igual a cero cuando x = −2 ó x = +3
porque cuando x = −2, entonces (x+2) es cero
o cuando x = +3, entonces (x−3) es cero

 

Entonces, entre −2 y +3, la función será

No sabemos cuál ... ¡todavía!


Seleccionemos un valor intermedio y probémoslo:

En x=0:x2 − x − 6  
 =  0 − 0 − 6  
 −6
Entonces, entre −2 y +3, la función es menor que cero.

Y ésa es la región que queremos, así que ...

x2 − x − 6 < 0 en el intervalo (−2, 3)

 

Nota: x2 − x − 6 > 0 en los intervalos (−∞,−2) y (3, +∞)

 Aquí está la gráfica de x2 − x − 6:

  • La ecuación es igual a cero en −2 y 3
  • La desigualdad "<0" es verdadera entre −2 y 3.
  x^2-x-6

Prueba también el Graficador de Desigualdades.

¿Qué tal si no pasa por cero?

x^2-x-1

Aquí está la gráfica de x2 − x + 1

¡No hay puntos "=0"!

¡Pero eso hace las cosas más fáciles!

Debido a que la línea no cruza a través de y = 0, debe ser:

  • siempre > 0, o
  • siempre < 0

Entonces, todo lo que tenemos que hacer es probar un valor (digamos x=0) para ver si está arriba o abajo.

Un ejemplo del "mundo real"

Un doble de acrobacias saltará de un edificio de 20m.

Una cámara de alta velocidad está lista para filmarlo entre 15m y 10m sobre el suelo.

¿Cuándo debería filmarlo la cámara?

Podemos usar esta fórmula para la distancia y el tiempo:

d = 20 − 5t2

(Nota: si tienes curiosidad acerca de la fórmula, se simplifica de d = d0 + v0t + ½a0t2 , donde d0=20, v0=0, y a0=−9.81, la aceleración de la gravedad.)

OK, sigamos.

 

Primero, bosquejemos la pregunta:

Dibujo de un salto

La distancia que queremos es de 10m a 15m:

10 < d < 15

Y sabemos la fórmula para d:

10 < 20 − 5t2 < 15

 

¡Ahora vamos a resolverlo!

Primero, restemos 20 de ambos lados:

−10 < −5t2 <−5

 

Ahora multiplica ambos lados por −(1/5). Pero debido a que estamos multiplicando por un número negativo, las desigualdades cambiarán de dirección ... lee Resolviendo Desigualdades para ver porqué.

2 > t2 > 1

 

Para tener un mejor orden, el número más pequeño debe estar a la izquierda y el más grande a la derecha. Así que intercambiemos (y asegurémonos de que las desigualdades todavía apuntan correctamente):

1 < t2 < 2

 

Por último, podemos sacar raíces cuadradas de forma segura, ya que todos los valores son mayores que cero:

√1 < t < √2

Podemos decirle al equipo de filmación:

"Graben de 1.0 a 1.4 segundos después del salto"

Grados más altos que el cuadrático

Las mismas ideas pueden ayudarnos a resolver desigualdades más complicadas:

Ejemplo: x3 + 4 ≥ 3x2 + x

Primero, pongámoslo en forma estándar:

x3 − 3x2 − x + 4 ≥ 0

Esta es una ecuación cúbica (el máximo exponente es un cubo, es decir, x3), y es difícil de resolver, así que mejor vamos a graficarla

Graph of Inequality

Las raíces son aproximadamente:

Y a partir de la gráfica podemos ver los intervalos donde es mayor que (o igual a) cero:

En notación de intervalos podemos escribir:

Aproximadamente: [−1.1, 1.3] U [2.9, +∞)

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).