Resolviendo Desigualdades Cuadráticas
... y más ...
Cuadrática
Una Ecuación Cuadrática (en Forma Estándar) se ve así:
Una Ecuación Cuadrática en Forma Estándar
(a, b y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.)
La anterior es una ecuación (=) pero a veces necesitamos resolver desigualdades como estas:
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Símbolo |
En palabras |
Ejemplo |
||
|---|---|---|---|---|
|
> |
mayor que |
x2 + 3x > 2 |
||
|
< |
menor que |
7x2 < 28 |
||
|
≥ |
mayor o igual que |
5 ≥ x2 − x |
||
|
≤ |
menor o igual que |
2y2 + 1 ≤ 7y |
Resolución
Resolver desigualdades es muy parecido a resolver ecuaciones ... hacemos la mayoría de las mismas cosas.
| Al resolver ecuaciones tratamos de encontrar puntos, como los señalados "=0" |
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| Pero al resolver desigualdades tratamos de encontrar intervalo(s), tales como los señalados como ">0" o "<0" |
Entonces esto es lo que hacemos:
- encontrar los puntos "=0"
- entre los puntos "=0", hay intervalos que son
- mayores que cero (>0), o
- menores que cero (<0)
- luego elegir un valor de prueba para descubrir cuál de ellos es (>0 o <0)
Aquí hay un ejemplo:
Ejemplo: x2 − x − 6 < 0
x2 − x − 6 tiene estos factores simples (¡qué suerte!):
(x+2)(x−3) < 0
Primero, encontremos dónde es igual a cero:
(x+2)(x−3) = 0
Es igual a cero cuando x = −2 o x = +3
porque cuando x = −2, entonces (x+2) es cero
o cuando x = +3, entonces (x−3) es cero
Así que entre −2 y +3, la función será
- siempre mayor que cero, o
- siempre menor que cero
No sabemos cuál ... ¡todavía!
Elijamos un valor intermedio (digamos x=0) y probémoslo:
Así que entre x=−2 y x=+3, la función es menor que cero.
Y esa es la región que queremos, así que...
x2 − x − 6 < 0 en el intervalo (−2, 3)
Nota: x2 − x − 6 > 0 en los intervalos (−∞,−2) y (3, +∞)
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Y aquí está la gráfica de x2 − x − 6:
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Prueba también el Graficador de Desigualdades.
¿Qué tal si no pasa por cero?
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Aquí está la gráfica de x2 − x + 1 ¡No hay puntos "=0"! Pero eso hace las cosas más fáciles. |
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Debido a que la curva no cruza por y=0, debe ser:
Así que todo lo que tenemos que hacer es probar un valor (digamos x=0) para ver si está por encima o por debajo. |
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Un ejemplo del "mundo real"
Un doble de acrobacias saltará de un edificio de 20 m.
Una cámara de alta velocidad está lista para filmarlo entre 15 m y 10 m sobre el suelo.
¿Cuándo debería filmarlo la cámara?
Podemos usar esta fórmula para la distancia y el tiempo:
d = 20 − 5t2
- d = distancia sobre el suelo (m), y
- t = tiempo desde el salto (segundos)
(Nota: si tienes curiosidad acerca de la fórmula, es una simplificación de d = d0 + v0t + ½a0t2 , donde d0=20, v0=0, y a0=−9.81 la aceleración de la gravedad.)
OK, sigamos.
Primero, bosquejemos la pregunta:
La distancia que queremos es de 10 m a 15 m:
10 < d < 15
Y conocemos la fórmula para d:
10 < 20 − 5t2 < 15
¡Ahora vamos a resolverlo!
Primero, restemos 20 de ambos lados:
−10 < −5t2 <−5
Ahora multiplicamos ambos lados por −(1/5). Pero debido a que estamos multiplicando por un número negativo, las desigualdades cambiarán de dirección ... lee Resolviendo Desigualdades para ver por qué.
2 > t2 > 1
Para que quede ordenado, el número más pequeño debe estar a la izquierda y el más grande a la derecha. Así que intercambiémoslos (y asegurémonos de que las desigualdades todavía apunten correctamente):
1 < t2 < 2
Por último, podemos sacar raíces cuadradas sin problema, ya que todos los valores son mayores que cero:
√1 < t < √2
Podemos decirle al equipo de filmación:
"Graben de 1.0 a 1.4 segundos después del salto"
Grados más altos que el cuadrático
Las mismas ideas pueden ayudarnos a resolver desigualdades más complicadas:
Ejemplo: x3 + 4 ≥ 3x2 + x
Primero, pongámoslo en forma estándar:
x3 − 3x2 − x + 4 ≥ 0
Esta es una ecuación cúbica (el exponente más alto es un cubo, es decir, x3), y es difícil de resolver, así que vamos a graficarla:
Las raíces son aproximadamente:
- −1.1
- 1.3
- 2.9
Y a partir de la gráfica podemos ver los intervalos donde es mayor que (o igual a) cero:
- De −1.1 a 1.3, y
- De 2.9 en adelante
En notación de intervalos podemos escribir:
Aproximadamente: [−1.1, 1.3] U [2.9, +∞)