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Guía Para Resolver Ecuaciones Diferenciales


Una Ecuación Diferencial es una ecuación con una función y una o más de sus derivadas:

ecuación diferencial y + dy/dx = 5x
Ejemplo: una ecuación con la función y y su derivada dy dx  


En nuestro mundo las cosas cambian, y describir cómo cambian a menudo termina expresándose mediante una Ecuación Diferencial.

Los ejemplos del mundo real donde se utilizan Ecuaciones Diferenciales incluyen el crecimiento de la población, la electrodinámica, el flujo del calor, el movimiento planetario, los sistemas económicos y mucho más.

Resolver

Como se comentó, una Ecuación Diferencial puede ser una forma muy natural de describir algo.

Ejemplo: Crecimiento poblacional

Aquí decimos que una población "N" cambia (en cualquier instante) en función de la tasa de crecimiento multiplicada por la población en ese instante:

dNdt = rN

Pero no es muy útil tal como está.

¡Necesitamos resolverla!

La resolvemos cuando descubrimos la función y (o el conjunto de funciones y) que satisface la ecuación.

Ejemplo: (continuación)

Nuestro ejemplo se resuelve con esta ecuación:

N(t) = N0ert

que en realidad se puede usar así:

Una población que comienza en 1000 (N0) con una tasa de crecimiento del 10% por mes (r) crecerá hasta

 

No existe una fórmula mágica para resolver todas las Ecuaciones Diferenciales.

Pero a lo largo de los milenios, las grandes mentes se han basado en el trabajo de las demás y han descubierto diferentes métodos (¡posiblemente largos y complicados!) para resolver algunos tipos de Ecuaciones Diferenciales.

 

Así que echemos un vistazo a algunos de los diferentes tipos de Ecuaciones Diferenciales y cómo resolverlos.

Separación de Variables - Las ecuaciones se ven así:
dydx = xy
Lineales de Primer Orden - Son de este tipo:
dydx + P(x)y = Q(x)
Homogéneas - Las ecuaciones se ven así:
dy dx = F (  y x )
Bernoulli - Tienen esta forma general:
dydx + P(x)y = Q(x)yn, n ≠ 0 or 1
Segundo Orden (homogéneas) - Son de este tipo:
d2ydx + P(x) dy dx + Q(x)y = 0
Coeficientes Indeterminados y Variación de Parámetros - Ambos son métodos para resolver ecuaciones de segundo orden cuando no son homogéneas, como:
d2ydx + p dy dx + qy = f(x)
Ecuaciones Exactas - Son aquellas ecuaciones diferenciales de primer orden, como esta:

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

tal que existe cierta función I(x,y) cuyas derivadas parciales se pueden poner en lugar de M y N, así:

∂I∂xdx + ∂I∂ydy = 0

 

 

Separación de Variables

Separación de Variables

La separación de Variables se puede usar cuando:

se pueden mover todos los términos y (incluido dy) a un lado de la ecuación y

todos los términos x (incluido dx) al otro lado.


Si ese es el caso, tendrás que integrar y simplificar la solución.

Lee más sobre Separación de Variables

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Lineales de Primer Orden

Una ecuación diferencial de primer orden es lineal cuando se puede hacer que tenga este aspecto:

dy dx + P(x)y = Q(x)

Donde P(x) y Q(x) son funciones de x.

Observa que son de "Primer Orden" cuando solo hay dy dx , no d2y dx2  ni d3y dx3 , etc.

Si tienes una ecuación como esta, puedes leer más en Solución de Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden

Nota: Las ecuaciones diferenciales no lineales son a menudo más difíciles de resolver y, por lo tanto, comúnmente se aproximan mediante ecuaciones diferenciales lineales para encontrar una solución más fácil.

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Ecuaciones Homogéneas

Hay otro tipo especial de ecuaciones en las que se puede utilizar la separación de variables, las homogéneas.

Se dice que una ecuación diferencial de primer orden es homogénea si se puede escribir en la forma

  dy dx = F (  y x )

Dicha ecuación se puede resolver utilizando el cambio de variables:

v = y x

el cual transforma la ecuación en una que es separable. Para descubrir más sobre este tipo de ecuaciones, consulta esta guía completa sobre Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

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Ecuación de Bernoulli

Una ecuación de Bernoulli tiene esta forma:

dydx + P(x)y = Q(x)yn
donde n es cualquier número real excepto 0 o 1

Mira ejemplos y aprende más sobre la Ecuación de Bernoulli

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Ecuaciones de Segundo Orden

En este tipo de ecuaciones aparece la segunda derivada.
La ecuación general de segundo orden se escribe de la siguiente manera

 a(x)d2y dx2 + b(x)dy dx + c(x)y = Q(x)

Hay muchos casos distintivos entre estas ecuaciones.

Se clasifican en homogéneas (Q(x) = 0), no homogéneas, autónomas, coeficientes constantes, coeficientes indeterminados, etc.

Para ecuaciones no homogéneas, la solución general es igual a la suma de:


Solución a la ecuación homogénea correspondiente

+

Solución particular de la ecuación no homogénea


Aprende más sobre este tipo de ecuaciones

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Coeficientes indeterminados

Este método funciona para una ecuación no homogénea como

d2ydx2 + P(x)dydx + Q(x)y = f(x)

donde f(x) es un polinomio, una exponencial, seno, coseno o una combinación lineal de esas.

Para simplificar las cosas, solo miramos el caso:

d2ydx2 + pdydx + qy = f(x)

donde p y q son constantes.

La solución completa a tal ecuación se puede encontrar combinando dos tipos de solución:

  1. La solución general de la ecuación homogénea
  2. d2ydx2 + pdydx + qy = 0

  3. Soluciones particulares de la ecuación no homogénea
  4. d2ydx2 + pdydx + qy = f(x)

Una vez que hemos encontrado la solución general y todas las soluciones particulares, entonces la solución final completa se encuentra sumando todas las soluciones.

¡Este método también implica adivinar! Lee más en Coeficientes Indeterminados

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Variación de Parámetros

Este es un método más general que los coeficientes indeterminados.

Una vez que tengas la solución general de la ecuación homogénea, tienes dos soluciones fundamentales y1 y y2

Y cuando y1 y y2 son las dos soluciones fundamentales de la ecuación homogénea

d2ydx2 + pdydx + qy = 0

luego se calcula el Wronskiano W(y1, y2), que es el determinante de una matriz

Así:

W(y1, y2) = y1y2' − y2y1'

Y después de calcular el wronskiano ahora podemos encontrar la solución particular de la ecuación diferencial

d2ydx2 + pdydx + qy = f(x)

usando la fórmula

yp(x) = −y1(x)y2(x)f(x)W(y1,y2)dx + y2(x)y1(x)f(x)W(y1,y2)dx

Finalmente completamos la solución sumando la solución general y la solución particular.
Puedes obtener más información sobre esto en Variación de Parámetros

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Ecuaciones exactas y factores integrantes

Una ecuación "exacta" es donde una ecuación diferencial de primer orden como esta:

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

tiene una cierta función I(x,y) cuyas derivadas parciales se pueden poner en lugar de M y N, así:

∂I∂xdx + ∂I∂ydy = 0

y nuestro trabajo es encontrar esa función mágica I(x, y) si es que existe.

Descubre cómo solucionarlas en Ecuaciones Exactas y Factores Integrantes

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) vs Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP)

Todos los métodos hasta ahora sirven para resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO).

El término ordinario se usa en contraste con el término parcial para indicar derivadas con respecto a una sola variable independiente.

Las Ecuaciones Diferenciales con funciones multivariables desconocidas y sus derivadas parciales son de un tipo diferente y requieren métodos distintos para resolverlas.

Se llaman Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP), y lo siento pero aún no tenemos ninguna página sobre este tema.

 


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