Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden
Aquí aprenderemos a resolver ecuaciones de este tipo:
d2ydx2 + pdydx + qy = 0
Ecuación Diferencial
Una Ecuación Diferencial es una ecuación con una función y una o más de sus derivadas:
Ejemplo: una ecuación con la función y y su derivada
dy dx
Orden
El orden es la derivada más alta (¿es una primera derivada? ¿una segunda derivada? etc):
Ejemplo:
dydx + y2 = 5x
Tiene solo la primera derivada dy dx, por lo que es de "Primer Orden"
Ejemplo:
d2ydx2 + xy = sin(x)
Esta tiene una segunda derivada d2y dx2 , por lo que es de "Orden 2"
Ejemplo:
d3ydx3 + xdydx + y = ex
Esta tiene una tercera derivada d3y dx3 que supera a dy dx, por lo que es de "Orden 3"
Antes de abordar ecuaciones diferenciales de segundo orden, asegúrate de estar familiarizado con los distintos métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.
Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden
Podemos resolver una ecuación diferencial de segundo orden del tipo:
d2ydx2 + P(x)dydx + Q(x)y = f(x)
donde P(x), Q(x) y f(x) son funciones de x, usando:
Variación de Parámetros que solo funciona cuando f(x) es un polinomio, exponencial, seno, coseno o una combinación lineal de esas.
Coeficientes Indeterminados que es un método un poco más complicado pero funciona en una gama más amplia de funciones.
Pero aquí comenzaremos aprendiendo el caso donde f(x) = 0 (esto la hace "homogénea"):
d2ydx2 + P(x)dydx + Q(x)y = 0
y también donde las funciones P(X) y Q(x) son constantes p y q:
d2ydx2 + pdydx + qy = 0
¡Aprendamos a resolverlas!
e al rescate
Vamos a utilizar una propiedad especial de la derivada de la función exponencial:
En cualquier punto la pendiente (derivada) de ex es igual a ex :
Y cuando introducimos un valor "r" de esta forma:
f(x) = erx
Tenemos lo siguiente:
- la primera derivada es f'(x) = rerx
- la segunda derivada es f''(x) = r2erx
En otras palabras, la primera y segunda derivadas de f(x) son múltiplos
de f(x)
¡Esto nos va a ayudar mucho!
Ejemplo 1: Resuelve
d2ydx2 + dydx − 6y = 0
Sea y = erx, por lo que tenemos:
- dydx = rerx
- d2ydx2 = r2erx
Sustituye estos en la ecuación anterior:
r2erx + rerx − 6erx = 0
Simplifica:
erx(r2 + r − 6) = 0
r2 + r − 6 = 0
¡Hemos reducido la ecuación diferencial a una ecuación cuadrática ordinaria!
A esta ecuación cuadrática se le da el nombre especial de ecuación
característica.
Podemos factorizarla así:
(r − 2)(r + 3) = 0
Por lo tanto, r = 2 o −3
Y entonces tenemos dos soluciones:
y = e2x
y = e−3x
Pero esa no es la respuesta final porque podemos combinar diferentes múltiplos de estas dos respuestas para obtener una solución más general:
y = Ae2x + Be−3x
Comprobación
Comprobemos esa respuesta. Primero derivemos:
y = Ae2x + Be−3x
dydx = 2Ae2x − 3Be−3x
d2ydx2 = 4Ae2x + 9Be−3x
Ahora sustituyamos en la ecuación original:
d2ydx2 + dydx − 6y = 0
(4Ae2x + 9Be−3x) + (2Ae2x − 3Be−3x) − 6(Ae2x + Be−3x) = 0
4Ae2x + 9Be−3x + 2Ae2x − 3Be−3x − 6Ae2x − 6Be−3x = 0
4Ae2x + 2Ae2x − 6Ae2x+ 9Be−3x− 3Be−3x − 6Be−3x = 0
0 = 0
¡Perfecto!
Entonces, ¿este método funciona en general?
Bueno, sí y no. La respuesta a esta pregunta depende de las constantes p y q.
Con y = erx como una solución de la ecuación diferencial
d2ydx2 + pdydx + qy = 0
se tiene:
r2erx + prerx + qerx = 0
erx(r2 + pr + q) = 0
r2 + pr + q = 0
Esta es una ecuación cuadrática, y puede haber tres tipos de respuestas:
- dos raíces reales
- una raíz real repetida (es decir, ambas raíces reales son iguales)
- dos raíces complejas
¡La manera de resolver depende de cuál tipo sea!
Podemos encontrar fácilmente de qué tipo es calculando el discriminante
p2 − 4q. Cuando es
- positivo, tenemos dos raíces reales
- cero, obtenemos una raíz real
- negativo, obtenemos dos raíces complejas
Dos raíces reales distintas
Cuando el discriminante p2 − 4q es positivo podemos ir directamente de la ecuación diferencial
d2ydx2 + pdydx + qy = 0
a la "ecuación característica":
r2 + pr + q = 0
a la solución general con dos raíces reales r1 y r2:
y = Aer1x + Ber2x
Ejemplo 2: Resuelve
d2ydx2 − 9dydx + 20y = 0
La ecuación característica es:
r2 − 9r + 20 = 0
Factoriza:
(r − 4)(r − 5) = 0
r = 4 o 5
Entonces, la solución general de nuestra ecuación diferencial es:
y = Ae4x + Be5x
Y aquí hay algunos valores de muestra:
Ejemplo 3: Resuelve
6d2ydx2 + 5dydx − 6y = 0
La ecuación característica es:
6r2 + 5r − 6 = 0
Factoriza:
(3r − 2)(2r + 3) = 0
r = 23 o −32
Entonces, la solución general de nuestra ecuación diferencial es:
y = Ae(23x) + Be(−32x)
Ejemplo 4: Resuelve
9d2ydx2 − 6dydx − y = 0
La ecuación característica es:
9r2 − 6r − 1 = 0
Esto no se factoriza fácilmente, por lo que utilizamos la fórmula de la ecuación cuadrática:
x = −b ± √(b2 − 4ac) 2a
con a = 9, b = −6 y c = −1
x = −(−6) ± √((−6)2 − 4×9×(−1)) 2×9
x = 6 ± √(36 + 36) 18
x = 6 ± 6√2 18
x = 1 ± √2 3
Entonces, la solución general de la ecuación diferencial es
y = Ae(1 + √2 3)x + Be(1 − √2 3)x
Una raíz real repetida
Cuando el discriminante p2 − 4q es cero
obtenemos una raíz real (es decir, ambas raíces reales son iguales).
Aquí hay unos ejemplos:
Ejemplo 5: Resuelve
d2ydx2 − 10dydx + 25y = 0
La ecuación característica es:
r2 − 10r + 25 = 0
Factoriza:
(r − 5)(r − 5) = 0
r = 5
Así que tenemos una solución: y = e5x
PERO cuando e5x es una solución, ¡entonces xe5x también es una solución!
¿Por qué? Te lo mostraré:
y = xe5x
dydx = e5x + 5xe5x
d2ydx2 = 5e5x + 5e5x + 25xe5x = 10e5x + 25xe5x
Por lo tanto:
d2ydx2 − 10dydx + 25y
= 10e5x + 25xe5x − 10(e5x + 5xe5x) + 25xe5x
= (10e5x − 10e5x) + (25xe5x − 50xe5x + 25xe5x) = 0
Entonces, en este caso nuestra solución es:
y = Ae5x + Bxe5x
¿Cómo funciona esto en el caso general?
Con y = xerx tenemos las derivadas:
- dydx = erx + rxerx
- d2ydx2 = rerx + rerx + r2xerx
Entonces
d2ydx2 + p dydx + qy
= (rerx + rerx + r2xerx) + p( erx + rxerx ) + q( xerx )
= erx(r + r + r2x + p + prx + qx)
= erx(2r + p + x(r2 + pr + q))
= erx(2r + p) porque ya sabemos que r2 + pr + q = 0
Y cuando r2 + pr + q tiene una raíz repetida, entonces r = −p2 y 2r + p = 0
De modo que si r es una raíz repetida de la ecuación característica, entonces la solución general es
y = Aerx + Bxerx
Probemos con otro ejemplo para ver qué tan rápido podemos obtener una solución:
Ejemplo 6: Resuelve
4d2ydx2 + 4dydx + y = 0
La ecuación característica es:
4r2 + 4r + 1 = 0
Luego:
(2r + 1)2 = 0
r = −12
Entonces la solución de la ecuación diferencial es:
y = Ae(−½)x + Bxe(−½)x
Raíces complejas
Cuando el discriminante p2 − 4q es negativo se tienen raíces complejas.
Probemos con un ejemplo que nos ayude a descubrir cómo resolver las de este tipo:
Ejemplo 7: Resuelve
d2ydx2 − 4dydx + 13y = 0
La ecuación característica es:
r2 − 4r + 13 = 0
Esta no se factoriza, así que usaremos la fórmula de la ecuación cuadrática:
x = −b ± √(b2 − 4ac) 2a
con a = 1, b = −4 y c = 13
x = −(−4) ± √((−4)2 − 4×1×13) 2×1
x = 4 ± √(16 − 52) 2
x = 4 ± √(−36) 2
x = 4 ± 6i 2
x = 2 ± 3i
Si seguimos el método utilizado para dos raíces reales, podemos probar la solución:
y = Ae(2+3i)x + Be(2−3i)x
Podemos simplificar esto ya que e2x es un factor común:
y = e2x( Ae3ix + Be−3ix )
¡Pero no hemos terminado aún!
La Fórmula de Euler nos indica que:
eix = cos(x) + i sin(x)
Así que ahora podemos seguir una vía completamente nueva para (en su momento) simplificar las cosas.Veamos solo la parte "A más B":
Ae3ix + Be−3ix
A(cos(3x) + i sin(3x)) + B(cos(−3x) + i sin(−3x))
Acos(3x) + Bcos(−3x) + i(Asin(3x) + Bsin(−3x))
Ahora aplicamos las Identidades Trigonométricas: cos(−θ)=cos(θ) y sin(−θ)=−sin(θ):
Acos(3x) + Bcos(3x) + i(Asin(3x) − Bsin(3x)
(A+B)cos(3x) + i(A−B)sin(3x)
Reemplaza A+B por C, y A−B por D:
Ccos(3x) + iDsin(3x)
Y obtenemos la solución:
y = e2x( Ccos(3x) + iDsin(3x) )
Comprobación
Tenemos nuestra respuesta, pero tal vez deberíamos comprobar que sí satisface la ecuación original:
y = e2x(Ccos(3x) + iDsin(3x))
dydx = e2x[−3Csin(3x)+3iDcos(3x)] + 2e2x[Ccos(3x)+iDsin(3x)]
d2ydx2 = e2x[(−12C −5iD)sin(3x) + (−5C + 12iD)cos(3x)]
Sustituye:
d2ydx2
− 4dydx + 13y = e2x[(−12C
−5iD)sin(3x) + (−5C + 12iD)cos(3x)]
− 4{e2x[−3Csin(3x)+3iDcos(3x)] + 2e2x[Ccos(3x)+iDsin(3x)]}
+ 13[e2x(Ccos(3x) + iDsin(3x))]
... Por cierto, ¿por qué no intentas sumar todos los términos para ver si son iguales a cero ... si no, por favor házmelo saber, ¿OK?
¿Cómo generalizamos esto?
Generalmente, cuando resolvemos la ecuación característica con raíces complejas, obtendremos dos soluciones r1 = v + wi y r2 = v − wi
Entonces, la solución general de la ecuación diferencial es
y = evx ( Ccos(wx) + iDsin(wx) )
Ejemplo 8: Resuelve
d2ydx2 − 6dydx + 25y = 0
La ecuación característica es:
r2 − 6r + 25 = 0
Usa la fórmula de la ecuación cuadrática:
x = −b ± √(b2 − 4ac) 2a
donde a = 1, b = −6 y c = 25
x = −(−6) ± √((−6)2 − 4×1×25) 2×1
x = 6 ± √(36 − 100) 2
x = 6 ± √(−64) 2
x = 6 ± 8i 2
x = 3 ± 4i
Y obtenemos la solución:
y = e3x(Ccos(4x) + iDsin(4x))
Ejemplo 9: Resuelve
9d2ydx2 + 12dydx + 29y = 0
La ecuación característica es:
9r2 + 12r + 29 = 0
Usa la fórmula de la ecuación cuadrática:
x = −b ± √(b2 − 4ac) 2a
con a = 9, b = 12 y c = 29
x = −12 ± √(122 − 4×9×29) 2×9
x = −12 ± √(144 − 1044) 18
x = −12 ± √(−900) 18
x = −12 ± 30i 18
x = −23 ± 53i
Y obtenemos la solución:
y = e(−23)x(Ccos(53x) + iDsin(53x))
Resumen
Para resolver una ecuación diferencial lineal de segundo orden de la forma
d2ydx2 + pdydx + qy = 0
donde p y q son constantes, debemos encontrar las raíces de la ecuación característica
r2 + pr + q = 0
Hay tres casos, según el discriminante p2 - 4q. Cuando es
positivo obtenemos dos raíces reales, y la solución es
y = Aer1x + Ber2x
cero obtenemos una raíz real, y la solución es
y = Aerx + Bxerx
negativo obtenemos dos raíces complejas r1 = v + wi y r2 = v − wi, y la solución es
y = evx ( Ccos(wx) + iDsin(wx) )
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).