Vectores Propios y Valores Propios
Tienen muchos usos!
Un ejemplo simple es que un vector propio no cambia la dirección en una transformación:
Las Matemáticas que hay detrás...
Para una matriz cuadrada A, un vector propio y un valor propio hacen que esta ecuación sea verdadera (si podemos encontrarlos):
Veremos cómo encontrarlos pronto, pero primero veamos uno en acción:
Ejemplo: Para esta matriz
−6
3
4
5
un vector propio es:
1
4
con un valor propio de 6
Hagamos algunas multiplicaciones de matrices para ver qué obtenemos .
Av nos da:
λv nos da:
¡Sí, son iguales! De modo que Av = λv como lo prometimos.
Observa cómo multiplicamos una matriz por un vector y obtenemos el mismo resultado que cuando multiplicamos un escalar (solo un número) por ese vector.
¿Cómo encontramos estas cosas propias?
Comenzamos por encontrar el valor propio: sabemos que esta ecuación debe ser verdadera:
Av = λv
Ahora pongamos la matriz identidad para emparejar matriz-vs-matriz:
Av = λIv
Traigamos todo al lado izquierdo:
Av − λIv = 0
Si v es diferente de cero, entonces podemos resolver para λ usando el determinante:
| A − λI | = 0
Probemos esa ecuación en nuestro ejemplo anterior:
Ejemplo: Encuentra λ:
Empieza con | A − λI | = 0
|
|
|
−6
3
4
5
− λ
1
0
0
1
|
|
|
= 0 |
Lo cual es:
Calculando el determinante se obtiene:
(−6−λ)(5−λ) − 3×4 = 0
Los cual nos da una Ecuación Cuadrática:
λ2 + λ − 42 = 0
Y al resolverla obtenemos:
λ = −7 ó 6
Y sí, hay dos valores propios posibles.
Ahora que conocemos valores propios, encontremos sus vectores propios coincidentes.
Ejemplo (continuación): Encuentra el vector propio para el valor propio λ = 6:
Empieza con:
Av = λv
Pon los valores que ya conocemos:Después de multiplicar obtenemos estas dos ecuaciones:
| −6x + 3y | = | 6x |
| 4x + 5y | = | 6y |
Trayendo todo al lado izquierdo:
| −12x + 3y | = | 0 |
| 4x − 1y | = | 0 |
Cualquiera de las ecuaciones revela que y = 4x, por
lo que el vector propio es cualquier múltiplo distinto de cero
de esto:
Y obtenemos la solución que se muestra en la parte superior de la página:
... y también ...
Así, Av = λv
Ahora es tu turno de encontrar el vector propio para el otro valor propio de −7
¿Por qué?
¿Cuál es el propósito de estos?
Una de las cosas geniales es que podemos usar matrices para hacer transformaciones en el espacio, lo cual se usa mucho en gráficos por computadora.
En ese caso, ¡el vector propio es "la dirección que no cambia de
dirección"!
Y el valor propio es el factor de estiramiento:
- 1 significa que no hay cambio,
- 2 significa que se duplica la longitud,
- −1 significa apuntar hacia atrás a lo largo de la dirección del valor propio.
También hay muchas aplicaciones en física, etc.
¿Por qué "Eigen"?
Eigen es una palabra alemana que significa "propio" o "típico"
"das ist ihnen eigen" es alemán para "eso es típico de ellos".
Es por ello que se traduce Eigenvalor como Valor propio o Valor característico.
Lo mismo para Eigenvector, que es Vector propio o Vector característico.
No Solo Dos Dimensiones
Los vectores propios funcionan perfectamente bien en 3 y más dimensiones.
Ejemplo: encontrar los valores propios de esta matriz 3x3:
2
0
0
0
4
5
0
4
3
Primero hay que calcular A − λI:
Ahora el determinante debería ser igual a cero:
Lo cual es:
(2−λ) [ (4−λ)(3−λ) − 5×4 ] = 0
Esto termina siendo una ecuación cúbica, pero solo mirándola aquí vemos que una de las raíces es 2 (por el factor 2−λ), y la parte dentro de los corchetes es cuadrática, con raíces −1 y 8.
Por lo que los valores propios son −1, 2 y 8
Ejemplo (continuación): encontrar el vector propio que coincide con el valor propio −1
Primero hay que poner los valores que conocemos:
Después de multiplicar obtenemos estas ecuaciones:
| 2x | = | −x |
| 4y + 5z | = | −y |
| 4y + 3z | = | −z |
Trayendo todo al lado izquierdo:
| 3x | = | 0 |
| 5y + 5z | = | 0 |
| 4y + 4z | = | 0 |
Así que x = 0, y y = −z de modo que el eigenvector es cualquier múltiplo distinto de cero:
Prueba Av:
Y λv:
Así que Av = λv, ¡Hurra!
(Puedes probar tu mismo para los valores propios de 2 y 8)
Rotación
De vuelta en el mundo 2D nuevamente, esta matriz hará una rotación de θ:
Ejemplo: Rota por 30°
cos(30°) = √32 y sen(30°) = 12, entonces:
Pero si rotamos todos los puntos, ¿cuál es la "dirección que no cambia de dirección"?
Trabajemos a través de las matemáticas para descubrirlo:
Primero calculamos A − λI:
Ahora el determinante debería ser igual a cero:
Lo cual es:
(√32−λ)(√32−λ) − (−12)(12) = 0
Que se convierte en esta ecuación cuadrática:
λ2 − (√3)λ + 1 = 0
Cuyas raíces son:
λ = √32 ± i2
¡Los eigenvalores son complejos!
No sé cómo mostrarte eso en una gráfica, pero obtenemos una solución.
Vector propio
Entonces, ¿cuál es un vector propio que coincide, digamos, con la raíz √32 + i2 ?
Empieza con:
Av = λv
Pon los valores que conocemos:Después de multiplicar obtenemos estas dos ecuaciones:
√32x − 12y = √32x + i2x
12x + √32y = √32y + i2y
Que se simplifican a:
−y = ix
x = iy
Y la solución es cualquier múltiplo distinto de cero de:
o
¡Wow, una respuesta tan simple!
¿Es esto solo porque elegimos 30°? ¿O funciona para cualquier
matriz de rotación? ¡Te dejaré resolver eso! Prueba con otro ángulo,
o mejor aún usa "cos (θ)" y "sen (θ)".
Ah, y verifiquemos al menos una de esas soluciones:
¿Coincide con esto?
¡Afirmativo!
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
