Polígonos Regulares - Propiedades

Polígono

Un polígono es una figura plana (bidimensional) cerrada con lados rectos. Algunos ejemplos son triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.

Regular

Un "polígono regular" tiene:

todos los lados iguales y

todos los ángulos iguales.

Si no, es irregular.


Pentágono regular		Pentágono irregular

Aquí solo hablaremos de los polígonos regulares.

Propiedades

Entonces, ¿qué podemos saber sobre los polígonos regulares? En primer lugar, podemos calcular ángulos.

Ángulo Exterior

El Ángulo Exterior es el ángulo entre cualquier lado de una figura,
y una línea extendida desde el lado siguiente.

Todos los Ángulo Exteriores de un polígono suman 360°, entonces:

Cada ángulo exterior debe ser 360°/n

(donde n es el número de lados)

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ángulo externo del octágono regular
Ángulo Exterior
(de un octágono regular)

Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo exterior de un octágono regular?

Un octágono tiene 8 lados, entonces:

Ángulo Exterior =360° / n

=360° / 8

=45°

Ángulos Interiores

Los Ángulos Interiores y los Ángulos Exteriores se miden desde la misma línea, por lo que suman 180°.

Ángulo Interior = 180° − Ángulo Exterior

Conocemos el ángulo exterior = 360°/n, por lo que:

Ángulo Interior = 180° − 360°/n

Esto se puede reorganizar así:

Ángulo Interior= 180° − 360°/n

= (n × 180° / n) − (2 × 180° / n)

= (n−2) × 180°/n

Entonces también tenemos esto:

Ángulo Interior = (n−2) × 180° / n

Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo interior de un octágono regular?

Un octágono regular tiene 8 lados, entonces:

Ángulo Exterior = 360° / 8 = 45°

Ángulo Interior = 180° − 45° = 135°

ángulo interno del octágono regular
Ángulo Interior
(de un octágono regular)

O podríamos usar:

Ángulo Interior= (n−2) × 180° / n

= (8−2) × 180° / 8

= 6 × 180° / 8

= 135°

Ejemplo: ¿Cuáles son los ángulos interior y exterior de un hexágono regular?

hexágono regular

Un hexágono regular tiene 6 lados, entonces:

Ángulo Exterior = 360° / 6 = 60°

Ángulo Interior = 180° − 60° = 120°

Y ahora algunos nombres:

Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema

"Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema ... "

Suena musical si lo repites unas cuantas veces, pero solo son los nombres de los círculos "exterior" e "interior" (y sus radios) que se pueden dibujar en un polígono regular, así:

apotema, incírculo, radio, circuncírculo

La circunferencia "exterior" se llama circunscrita (a veces también "circuncírculo"), y conecta los vértices del polígono.

La circunferencia "interior" se llama inscrita (a veces también "incírculo"), y toca cada lado del polígono en el punto medio.

El radio de la circunferencia circunscrita es también el radio del polígono.

El radio de la circunferencia inscrita es el apotema del polígono.

(No todos los polígonos tienen esas propiedades, pero los triángulos y los polígonos regulares sí las tienen).

Separando en Triángulos

lados de triángulos hexagonales y apotema

Podemos aprender mucho sobre los polígonos regulares dividiéndolos en triángulos como este:

Observa que:

la "base" del triángulo es un lado del polígono.

la "altura" del triángulo es el "Apotema" del polígono

Ahora el área de un triángulo es la mitad de la base multiplicada por la altura, entonces:

Área de un triángulo = base × altura / 2 = lado × apotema / 2

Para obtener el área de todo el polígono, simplemente suma las áreas de todos los triángulos pequeños ("n" de ellos):

Área del Polígono = n × lado× apotema / 2

Y como el perímetro es todos los lados = n × lado, obtenemos:

Área del Polígono = perímetro × apotema / 2

Un triángulo más pequeño

Cortando el triángulo por la mitad obtenemos esto:

sector de un polígono regular

(Nota: Los ángulos están en radianes, no grados)

El triángulo pequeño es rectángulo así que podemos usar seno, coseno y tangente para ver las relaciones entre el lado, el radio, el apotema y "n":

sin(π/n) = (Lado/2) / Radio		Lado = 2 × Radio × sin(π/n)
cos(π/n) = Apotema / Radio		Apotema = Radio × cos(π/n)
tan(π/n) = (Lado/2) / Apotema		Lado = 2 × Apotema × tan(π/n)

Hay muchas más relaciones como estas (casi todas son "reordenamientos"), pero con estas nos vale por ahora.

Más fórmulas de área

Podemos usar eso para calcular el área cuando solo conocemos el Apotema:

Área del triángulo pequeño= ½ × Apotema × (Lado/2)

Y sabemos (por la fórmula "tan" anterior) que:

Lado = 2 × Apotema × tan(π/n)

Luego:

Área del triángulo pequeño= ½ × Apotema × (Apotema × tan(π/n))

= ½ × Apotema² × tan(π/n)

Y hay 2 triángulos de este tipo por lado, o 2n para todo el polígono:

Área del Polígono = n × Apotema² × tan(π/n)

Cuando no conocemos el Apotema, podemos usar la misma fórmula pero reorganizada para el Radio o para el Lado:

Área del Polígono = ½ × n × Radio² × sin(2 × π/n)

Área del Polígono = ¼ × n × Lado² / tan(π/n)

Tabla de valores

Podemos usar las fórmulas para hacer una tabla con los lados, apotemas y áreas de varios polígonos, usando un valor del radio igual a "1":

Tipo	Nombre cuando es Regular	Lados (n)	Ángulo interior	Radio	Lado	Apotema	Área
Triángulo (o Trígono)	Triángulo Equilátero	3	60°	1	1.732 (√3)	0.5	1.299 (¾√3)
Cuadrilátero (o Tetrágono)	Cuadrado	4	90°	1	1.414 (√2)	0.707 (1/√2)	2
Pentágono	Pentágono Regular	5	108°	1	1.176	0.809	2.378
Hexágono	Hexágono Regular	6	120°	1	1	0.866 (½√3)	2.598 ((3/2)√3)
Heptágono (o Septágono)	Heptágono Regular	7	128.571°	1	0.868	0.901	2.736
Octágono	Octágono Regular	8	135°	1	0.765	0.924	2.828 (2√2)
...	...
Pentacontágono	Pentacontágono Regular	50	172.8°	1	0.126	0.998	3.133
(Nota: los valores son correctos a 3 decimales)

gráfica sobre polígonos regulares

Gráfico

Y este es un gráfico de la tabla, con el número de lados ("n") de 3 a 30.

Fíjate en que cuando "n" crece, el apotema tiende a 1 (igual al radio) y el área tiende a π = 3.1416..., como una circunferencia.

¿A qué tiende la longitud del lado?

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).